피카르-렙셰츠 이론

미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다.

피카르-렙셰츠 공식

복소 ${\displaystyle k}$차원 연결 복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 정칙함수 ${\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}}$가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 ${\displaystyle \partial f(p_{i})=0}$인 점 ${\displaystyle p_{i}\in M}$들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 ${\displaystyle z_{i}=f(p_{i})}$들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 ${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\}}$에 대하여 ${\displaystyle M_{z}=f^{-1}(z)}$는 위상동형이다. ${\displaystyle z\to z_{i}}$인 극한을 취하면, ${\displaystyle M_{z}}$의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 ${\displaystyle (k-1)}$차 호몰로지류 ${\displaystyle \delta _{i}\in H_{k-1}(M_{z})}$임을 보일 수 있다. (${\displaystyle M_{z}}$는 실수 ${\displaystyle 2(k-1)}$차원이다.) ${\displaystyle z}$를 ${\displaystyle z_{i}}$ 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 ${\displaystyle H_{k-1}(M_{z})}$에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)}$의 ${\displaystyle H_{k-1}(M_{z})}$에 대한 작용으로 나타내어진다.

피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. ${\displaystyle w_{i}\in \pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)}$가 ${\displaystyle z_{i}}$를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

${\displaystyle w_{i}\colon \gamma \mapsto \gamma +(-1)^{k(k+1)/2}(\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle )\delta _{i}}$

이다. 여기서

${\displaystyle \langle \gamma ,\delta _{i}\rangle =[M_{z}]\smile (\gamma \frown \delta _{i})}$

이다.

역사

에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르(프랑스어: Georges Simart)는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고,^[1] 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.^[2]