하르톡스 수

집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.^[1]:63

정의

집합 ${\displaystyle X}$의 하르톡스 수 ${\displaystyle \operatorname {h} (X)}$는 ${\displaystyle X}$의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다. 즉, 단사 함수 ${\displaystyle \alpha \to X}$가 존재하지 않는 최소의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$이다.

하르톡스 정리(Hartogs定理, 영어: Hartogs’ theorem)에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다.

증명:

임의의 집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

${\displaystyle W=\{(Y,\leq )\colon Y\subseteq X,\;{\leq }\in \operatorname {WellOrder} (Y)\}}$

를 생각하자. ${\displaystyle W\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X\times X)}$이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 ${\displaystyle \beta }$의 크기가 ${\displaystyle |X|}$ 이하일 필요충분조건은 어떤 ${\displaystyle (Y,\leq )\in W}$와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

${\displaystyle \alpha =\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon |\beta |\leq |X|\}}$

역시 집합이다. 이제, ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle X}$의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

• ${\displaystyle \alpha }$는 순서수
  • ${\displaystyle \alpha \subseteq \operatorname {Ord} }$이므로, ${\displaystyle \alpha }$가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 ${\displaystyle \beta \in \alpha }$이며 ${\displaystyle \gamma \in \beta }$라면, 단사 함수 ${\displaystyle f\colon \beta \to X}$가 존재하는데, 이를 ${\displaystyle \gamma }$로 제한하면 단사 함수 ${\displaystyle f\upharpoonright \gamma \colon \gamma \to X}$를 얻는다. 따라서 ${\displaystyle \gamma \in \alpha }$이다.
• ${\displaystyle |\alpha |>|X|}$
  • 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) ${\displaystyle \alpha \not \in \alpha }$이다. 즉, ${\displaystyle |\alpha |\leq |X|}$일 수 없다.
• ${\displaystyle \alpha }$의 최소성
  • ${\displaystyle \alpha }$의 정의에 따라, ${\displaystyle \alpha }$보다 작은 순서수들의 크기는 ${\displaystyle |X|}$ 이하이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.

성질

하르톡스 수는 기수이다.^[1]:63 즉, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha <\operatorname {h} (X)}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle \operatorname {h} (X)}$의 크기는 서로 다르다.

예

자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {h} (n)=n+1}$이다.^[1]:63

역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다.

같이 보기

• 알레프 수