임의의 집합
가 주어졌을 때,
의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

를 생각하자.
이므로 이 모임은 집합이다. 순서수
의 크기가
이하일 필요충분조건은 어떤
와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

역시 집합이다. 이제,
가
의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.
는 순서수
이므로,
가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약
이며
라면, 단사 함수
가 존재하는데, 이를
로 제한하면 단사 함수
를 얻는다. 따라서
이다.
- 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,)
이다. 즉,
일 수 없다.
의 최소성
의 정의에 따라,
보다 작은 순서수들의 크기는
이하이다. 즉,
의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.