하이네-보렐 정리

일반위상수학에서 하이네-보렐 정리(영어: Heine–Borel theorem)는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

증명:

콤팩트 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ 위의 코시 필터는 집적점을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 완비 균등 공간이다. 이제, ${\displaystyle X}$가 완전 유계 공간임을 보이자. 임의의 측근 ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$에 대하여, ${\displaystyle E}$-작은 집합들로 구성된 ${\displaystyle X}$의 유한 덮개를 찾으면 족하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근 ${\displaystyle F\in {\mathcal {E}}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle F\circ F\subseteq E}$
• ${\displaystyle F}$는 대칭 관계이다.
• ${\displaystyle F\subseteq X\times X}$는 열린집합이다.

이제

${\displaystyle F[x,-]=\{y\colon (x,y)\in F\}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \{F[x,-]\colon x\in X\}}$는 유한 부분 덮개 ${\displaystyle \{F[x_{1},-],\dots ,F[x_{n},-]\}}$를 갖는다. 또한, 모든 ${\displaystyle F[x_{i},-]}$는 ${\displaystyle E}$-작은 집합이다.

반대로, 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$가 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간임을 보이자. 임의의 ${\displaystyle X}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 수렴함을 보이면 족하다. ${\displaystyle X}$가 완비 균등 공간이므로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 코시 필터임을 보이면 족하다. 임의의 측근 ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라 ${\displaystyle E}$-작은 집합들로 구성된 ${\displaystyle X}$의 유한 덮개 ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}}$이 존재한다. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 극대 필터이므로, ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$인 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$이 존재한다.

특히, ${\displaystyle X}$가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유계 집합이다.

마찬가지로, ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 균등 공간이다.
• 닫힌집합이다.

따라서, ${\displaystyle X}$의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 유계 집합이며 닫힌집합이다.

예

${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 ${\displaystyle [0,1]}$은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사

에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 땄다.

같이 보기

• 볼차노-바이어슈트라스 정리