하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬(영어: Heisenberg spin chain)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

하이젠베르크 모형(Heisenberg model)은 스핀 계의 통계역학 모형으로, 주로 자성 계와 강상관 전자 계(strongly correlated electron systems)에서의 상전이와 임계점 현상(임계 현상)을 연구하는 데 사용된다. 양자역학 발전 초기, 하이젠베르크는 스핀과 스핀 사이에 상호작용이 존재할 수 있다고 제안했으며, 그 수학적 형식은 두 스핀 각운동량의 내적 ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$이다.^[1]"전자 스핀 간의 교환 상호작용이 강자성의 기원"이라는 이 물리적 그림은 양자 자성학의 시초로 간주되며, 하이젠베르크 모형의 해밀토니언은 바로 이러한 내적들의 합이다.

${\displaystyle H=\sum _{ij}J_{ij}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$

여기서 스핀 각운동량의 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ 세 성분 사이의 교환 관계는 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\hbar \delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$이다. ${\displaystyle \hbar }$는 플랑크 상수를 ${\displaystyle 2\pi }$로 나눈 값이며, 논의의 편의를 위해 ${\displaystyle \hbar =1}$로 가정한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 자연수 ${\displaystyle L\in \mathbb {N} }$. 이는 스핀 사슬의 길이이다.
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 복소수 표현 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2s+1}}$, ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{ab}}$, ${\displaystyle a,b\in \{1,2,\dotsc ,2s+1\}}$. 이는 스핀 ${\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}}$에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 ${\displaystyle s}$에 대응되는 표현은 ${\displaystyle 2s+1}$ 복소수 차원 표현이다.
• 3×3 실수 대칭 행렬 ${\displaystyle J_{ij}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )}$.

그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱

${\displaystyle {\mathcal {H}}=V^{\otimes L}}$

이다. 각 ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,L\}}$에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 ${\displaystyle V_{i}}$ 및 그 위에만 작용하는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ 표현 ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{i}}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle s=1/2}$일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{1/2}={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=1}^{L}J({\vec {\sigma }}_{i},{\vec {\sigma }}_{i+1})}$

여기서 ${\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,L\}}$은 법 ${\displaystyle L}$로 취급된다. 즉, ${\displaystyle L\equiv 0{\pmod {L}}}$이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.

• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$이 모두 같다면 (즉, ${\displaystyle J}$가 ${\displaystyle \operatorname {O} (3)}$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXX spin chain)이라고 한다.
  • 이 경우, 만약 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}>0}$이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 영어: ferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
  • 이 경우, 만약 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}<0}$이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 영어: antiferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, ${\displaystyle J}$가 ${\displaystyle \operatorname {O} (2)}$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXZ spin chain)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$이 모두 서로 다르다면 (즉, ${\displaystyle J}$의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XYZ spin chain)이라고 한다.

또한, 사용되는 스핀 ${\displaystyle s}$를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX_½ 스핀 사슬”은 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}}$이며, ${\displaystyle s=1/2}$인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

성질

하이젠베르크 XXX_½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 ${\displaystyle z}$ 방향 총 스핀 연산자

${\displaystyle S_{z}=\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{z}}$

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX_s 스핀 사슬의 ${\displaystyle N}$-마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \prod _{m\in \{1,\dotsc ,N\}\setminus \{n\}}{\frac {\lambda _{n}-\lambda _{m}+\mathrm {i} }{\lambda _{n}-\lambda _{m}-\mathrm {i} }}=\left({\frac {\lambda _{n}+\mathrm {i} s}{\lambda _{n}-\mathrm {i} s}}\right)^{L}\qquad \forall n\in \{1,\dotsc ,N\}}$

베테 가설 풀이

베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다.^[1] 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(영어: Bethe ansatz)를 도입하여 풀었다.^[2][3]

베테 가설 풀이(Bethe ansatz)는 양자 적분가능 계(quantum integrable systems) 분야를 창시한 선구적인 방법으로 간주된다. 이 맥락에서 한스 베테가 개발한 수학적 기법들은 이후 다른 많은 저차원 양자 다체 모형을 풀이하는 데 널리 응용되었다. 응집물질물리학 연구자들에게 그의 논문은 "근사 이론"(평균장 이론 등)에서 "엄밀 해"로의 전환을 나타내는 분수령이 되었다.

이러한 돌파구는 결국 노벨상 수상자인 양전닝(Chen-Ning Yang)과 그의 동생 남동생 양전핑(Chen-Ping Yang)이 1차원 하이젠베르크 모형과 그 확장인 XXZ 모형에 대해 중요한 엄밀한 연구를 수행하도록 이끌었다. 그들의 결과는 미국 물리학회의 저널인 피지컬 리뷰에 게재되었다. 1966년에 발표된 이 일련의 매우 영향력 있는 논문들은 양 씨 형제의 양자 스핀 사슬에 관한 고전적 연구로 통칭된다.

• 첫 번째 논문: 베테 가설의 타당성 증명.^[4] 이 연구는 유한한 길이의 비등방성 하이젠베르크 사슬(XXZ 모형)에 대해, 베테 안자츠로부터 얻은 파동함수가 실제로 해밀토니언의 고유상태(eigenstates)임을 엄밀하게 증명했다. 이는 베테의 원래 연구에 대해 필수적인 수학적 완성과 정식화를 제공했다.
• 두 번째 논문: 바닥상태 에너지의 성질.^[5] 무한한 사슬의 열역학적 극한(thermodynamic limit)에서, 그들은 바닥상태 에너지를 계산하고 그 해석적 성질을 분석했다.
• 세 번째 논문: 응용 및 들뜬 상태.^[6] 이 연구는 자화 곡선과 자기 감수율(magnetic susceptibility)을 포함한 모형의 물리적 응용을 탐구했다.

리브-슐츠-매티스 정리

리브-슐츠-매티스 정리(Lieb-Schultz-Mattis theorem, LSM 정리)^[7]는 반정수(half-integer) 스핀을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형에서, 병진 대칭성과 스핀 회전 대칭성이 존재할 때 반드시 어떤 들뜬 상태(excited state)가 존재함을 보여준다. 이 들뜬 상태는 바닥상태와 동일한 자화(magnetization)를 가지지만 결정 운동량이${\displaystyle \pi }$만큼 다르며, 열역학적 극한에서는 바닥상태 에너지와 축퇴된다. 즉, 반정수 스핀을 가진 1차원 하이젠베르크 모형의 에너지 스펙트럼은 에너지 갭이 없다(gapless). LSM 정리는 나중에 일본의 물리학자 오시카와 마사키(Masaki Oshikawa)에 의해 일반화되었으며, 그 적용 범위가 원래의 1차원 반정수 스핀 사슬에서 고차원 계로 확장되었다.^[8]

홀데인 추측

LSM 정리에 따르면, 반정수 스핀(${\displaystyle S=1/2,3/2,5/2}$,...)을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형의 바닥상태는 스핀 갭(spin gap)이 없다. 그러나 정수 스핀(${\displaystyle S=1,2,3}$,...)을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형은 LSM 정리의 범주에 속하지 않으며, 따라서 근본적으로 다른 성질을 보일 수 있다. 덩컨 홀데인은 정수 스핀 반강자성 하이젠베르크 사슬의 바닥상태가 스핀 갭을 가진다고 제안하였는데, 이 예측은 나중에 홀데인 추측으로 알려지게 되었으며, 그 갭 자체는 홀데인 갭이라 불린다.

홀데인 추측은 수치 계산과 정수 스핀 사슬 물질의 스핀 갭에 대한 실험적 측정을 통해 광범위하게 검증되었다. 이는 물리학자들이 그 갭의 기원과 위상학적 성질과의 관계를 연구하도록 더욱 고무시켰으며, 물질의 위상 상과 위상 상전이를 이해하는 데 있어 이정표가 되었다. "물질의 위상 상전이와 위상 상의 이론적 발견"으로, 덩컨 홀데인은 2016년 노벨 물리학상을 마이클 코스털리츠, 데이비드 사울리스와 공동 수상했다.