하틀-호킹 상태

양자 중력에서 하틀-호킹 상태(영어: Hartle–Hawking state)는 경로 적분으로 정의되는, 우주의 바닥 상태이며, 휠러-디윗 방정식을 만족시킨다.

정의

하틀-호킹 상태는 3차원 리만 다양체 ${\displaystyle (\Sigma ,h_{ij})}$ 및 그 위에 정의된 양자장 ${\displaystyle \phi _{0}}$들의 공간 위에 정의되는 범함수 ${\displaystyle \Psi [h_{ij},\phi _{0}]}$이다. 이는 양의 우주 상수 ${\displaystyle \Lambda >0}$에 대해서만 정의되며, 다음과 같은 경로 적분으로 정의된다.

${\displaystyle \Psi [h_{ij},\phi _{0}]=\int _{g|_{\Sigma }=h,\phi |_{\Sigma }=\phi _{0}}Dg\,D\phi \,\exp \left(-\int _{M}dx^{4}\,{\sqrt {g}}\left(R+2\Lambda +{\mathcal {L}}[\phi ]\right)\right)}$

여기서 ${\displaystyle \int {\sqrt {g}}R+2\Lambda }$는 아인슈타인-힐베르트 작용이며, ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ]}$는 다른 양자장들의 작용이다. ${\displaystyle \int _{g|_{\Sigma }=h}Dg}$는 다음을 만족시키는 4차원 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$들에 대한 경로 적분이다.

• ${\displaystyle (M,g)}$는 (유클리드 부호수) 리만 다양체이다.
• ${\displaystyle (\partial M,g|_{\partial M})=(\Sigma ,h)}$이다. 즉, ${\displaystyle M}$의 경계는 ${\displaystyle \Sigma }$이며, 그 위에 유도되는 계량 (제1 기본 형식)은 ${\displaystyle h}$이다.

이 경로 적분이 잘 정의되려면 ${\displaystyle \Lambda >0}$이어야만 한다. 만약 ${\displaystyle \Lambda \leq 0}$이라면, 매우 부피가 크지만 작용이 작은 ${\displaystyle (M,g)}$가 존재하여, 경로 적분이 발산하기 때문이다. 이 경우 하틀-호킹 상태는 정규화될 수 없다.

역사

제임스 하틀(James B. Hartle)과 스티븐 호킹이 1983년 제안하였다.^[1]