한-바나흐 정리

함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의

실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 열선형 함수(劣線型函數, 영어: sublinear function)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$이다.

• (동차성) 임의의 ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} ^{+}}$와 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle f(\gamma v)=\gamma f(v)}$
• (준가법성) 임의의 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle f(u+v)\leq f(u)+f(v)}$

예를 들어, ${\displaystyle V}$의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle U\subset V}$ 위에 정의된 선형함수 ${\displaystyle \phi \colon U\to \mathbb {R} }$가 열선형 함수 ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

${\displaystyle \phi (u)\leq f(u)\qquad \forall u\in U}$

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, ${\displaystyle \phi }$를 같은 열선형 함수에 지배당하는, ${\displaystyle V}$ 전체에 정의된 선형함수 ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon V\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

• ${\displaystyle \phi (u)={\tilde {\phi }}(u)\qquad \forall u\in U}$
• ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(v)\leq f(v)\qquad \forall v\in V}$

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아의 수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리가 정리의 특수한 경우를 증명하였고,^[1] 헝가리 수학자 리스 머르첼이 1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.^[2]