할선

할선(割線, 문화어: 가름선,secant)은 원 또는 곡선과 두 개 이상의 점에서 만나 그 원이나 곡선을 자르는 직선을 말한다.

할선의 응용

원에서 할선 ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 와 접선 ${\displaystyle {\overline {TD}}}$ 가 서로 연관될 때,^[1]

반지름 ${\displaystyle {\overline {CT}}}$에 의해 다음과 같은 다양한 비례관계를 갖게 된다.

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}}$는,

유클리드 원론 제2권 법칙6에서,

임의의 선분 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$을 예약했을때, ${\displaystyle {\overline {AB}}}$을 이등분하는 점 ${\displaystyle C}$를 가정하고,[2] ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AC}}+{\overline {CD}}={\overline {CD}}+{\overline {CB}}}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}=\qquad \qquad \qquad {\overline {CD}}-{\overline {CB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}=\left({\overline {CD}}+{\overline {CB}}\right)\left({\overline {CD}}-{\overline {CB}}\right)={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CB}}^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}$

이므로,

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CB}}^{2}}$이고,

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}$이고,

피타고라스의 정리에서,${\displaystyle {\overline {CT}}^{2}+{\overline {DT}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}$일때,

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CT}}^{2}+{\overline {DT}}^{2}}$이다.

따라서,

${\displaystyle {\overline {CB}}^{2}={\overline {CT}}^{2}}$이므로,

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {DT}}^{2}}$이다.

같이 보기

• 활꼴
• 접선
• 유클리드 원론
• 현
• 호