항등 정리

복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

정의

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 두 정칙 함수 ${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} }$가 주어졌고, 집합

${\displaystyle \{z\in D\colon f(z)=g(z)\}}$

가 ${\displaystyle D}$에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 ${\displaystyle z\in D}$에 대하여 ${\displaystyle f(z)=g(z)}$이다.^[1]:209

특히, 연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$의 영점의 집합은 ${\displaystyle D}$ 전체이거나, ${\displaystyle D}$에서 극한점을 갖지 않는다.^{[1]:208, Theorem 10.18} 후자의 경우, ${\displaystyle f}$의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

증명

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$의 영점의 집합이 ${\displaystyle D}$에 속하는 극한점 ${\displaystyle z_{0}\in D}$를 갖는다고 하자. 또한,

${\displaystyle S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots \}}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle S=D}$임을 보이는 것으로 족하다.

우선 ${\displaystyle S\neq \varnothing }$임을 보이자. ${\displaystyle z_{0}\in S}$를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 ${\displaystyle z_{0}\not \in S}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle m=\min\{n\geq 0\colon f^{(n)}(z_{0})\neq 0\}}$

이 정의된다. ${\displaystyle f}$는 연속 함수이므로, ${\displaystyle f(z_{0})=0}$이며, 따라서 ${\displaystyle m\geq 1}$이다. ${\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)\subseteq D}$인 ${\displaystyle r>0}$을 고정하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{0},r)}$에 대하여,

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}}$

이다. 즉, 정칙 함수 ${\displaystyle g\colon \operatorname {B} (z_{0},r)\to \mathbb {C} }$를

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n-m}\qquad (z\in \operatorname {B} (z_{0},r))}$

와 같이 정의할 경우,

${\displaystyle g(z_{0})={\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}\neq 0}$

이고, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{0},r)}$에 대하여

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)}$

이다. 따라서 ${\displaystyle r}$을 충분히 작게 다시 정의할 경우 ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)}$에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$에서 영점을 갖지 않는다. 이는 ${\displaystyle z_{0}}$이 ${\displaystyle E}$의 극한점인 데 모순이다.

이제 ${\displaystyle S}$가 열린집합임을 보이자. 임의의 ${\displaystyle z_{1}\in S}$를 고정하고, ${\displaystyle \operatorname {B} (z_{1},r)\subseteq D}$인 ${\displaystyle r>0}$을 고정하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle z_{1}}$에서 정칙 함수이므로, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{1},r)}$에 대하여

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}(z-z_{1})^{n}=0}$

이다. 즉, ${\displaystyle z\in S}$이며, 따라서 ${\displaystyle z_{1}}$은 ${\displaystyle S}$의 내부점이다.

마지막으로 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle D}$의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 ${\displaystyle z_{2}\in S'\cap D}$를 고정하자. (여기서 ${\displaystyle (-)'}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle n\geq 0}$에 대하여, ${\displaystyle f^{(n)}}$이 연속 함수이므로 ${\displaystyle f^{(n)}(z_{2})=0}$이다. 즉, ${\displaystyle z_{2}\in S}$이다.

즉, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle D}$의 열린닫힌집합이며, ${\displaystyle S\neq \varnothing }$이다. ${\displaystyle D}$는 연결 집합이므로, ${\displaystyle S=D}$이다. 특히, 임의의 ${\displaystyle z\in D}$에 대하여, ${\displaystyle f(z)=0}$이다.

예

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$가 두 연결 성분 ${\displaystyle D,U\setminus D}$를 가질 때, 함수

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}}\qquad (z\in U)}$

는 정칙 함수이며, 영점 집합 ${\displaystyle D}$는 정의역 ${\displaystyle U}$ 전체가 아니지만, ${\displaystyle D}$는 ${\displaystyle U}$에서 ${\displaystyle D}$의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.^[1]:210

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})}$

의 영점 집합

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}$

은 ${\displaystyle 0\not \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$을 극한점으로 한다.^{[2]:97, §3.4, 예3}

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-1/x^{2}\right)\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )}$

는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

${\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}$

의 극한점이다.^{[2]:96, §3.4, 예2}

같이 보기

• 반사 원리
• 해석적 연속