행렬 지수 함수

행렬 지수 함수(行列指數函數, matrix exponential)란 정사각행렬에 대한 일종의 지수 함수다.

정의

행렬 지수 함수 ${\displaystyle \exp \colon M_{n\times n}\to M_{n\times n}}$은 정사각행렬을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 급수로 정의한다.

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$.

이는 복소수 지수 함수의 테일러 급수 ${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}}$ 와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 수렴하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

성질

행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 복소수를 의미한다.

• ${\displaystyle \exp(0)=I_{n\times n}}$ (단위행렬)
• 만약 ${\displaystyle XY-YX=0}$이면, ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)=\exp(Y)\exp(X)}$.
  • 위 성질의 특수한 경우로, ${\displaystyle \exp(aX)\exp(bX)=\exp((a+b)X)}$.
  • 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우 ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\neq \exp(X+Y)\neq \exp(Y)\exp(X)}$.
• 만약 ${\displaystyle Y}$가 가역행렬이라면, ${\displaystyle Y\exp(X)Y^{-1}=\exp(YXY^{-1})}$.
• ${\displaystyle \det \exp X=\exp \operatorname {tr} X}$.
  • 따라서, ${\displaystyle \det \exp X>0}$이고, 행렬 지수는 항상 가역행렬이다.

행렬 지수 함수를 미분방정식으로도 나타낼 수 있다. 즉, 다음 초기조건문제

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}}$

의 해는

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\exp(At)\mathbf {x} _{0}}$

이다.

같이 보기

• 지수 함수
• 골든-톰슨 부등식

외부 링크

• Module for the Matrix Exponential