형식적 멱급수

대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대한 형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$는 집합으로서 ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

${\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},\dots )}$

는 통상적으로

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots }$

으로 쓴다.

${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 ${\displaystyle R}$-가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}r_{k}s_{n-k}x^{n}}$

이에 따라 ${\displaystyle R[[x]]}$는 결합 ${\displaystyle R}$-대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. ${\displaystyle R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]]}$은 ${\displaystyle R[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]]}$을 뜻한다.

미분

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-선형 연산

${\displaystyle D\colon R[[x]]\to R[[x]]}$

${\displaystyle D\colon \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }nr_{n}x^{n-1}}$

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

합성

임의의 ${\displaystyle a,b\in R[[x]]}$가 주어졌고, ${\displaystyle b_{0}=0}$이라고 하자 (즉, ${\displaystyle b\in (x)}$). 그렇다면 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$의 합성 ${\displaystyle a\circ b\in R[[x]]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle a\circ b=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j\in (\mathbb {Z} ^{+})^{k}}^{j_{1}+\cdots +j_{k}=n}a_{k}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}x^{n}}$

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질

환 ${\displaystyle R}$에 대하여,

• 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 가환환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 환이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 정역이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 정역이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 체라면, ${\displaystyle R[[x]]}$는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

${\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\in R[[x]]}$는 가역원이다.
• ${\displaystyle a_{0}\in R}$는 가역원이다.

구체적으로, ${\displaystyle a}$의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

${\displaystyle (a^{-1})_{0}=a_{0}^{-1}}$

${\displaystyle (a^{-1})_{n}=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(a^{-1})_{n-i}=-\sum _{i=1}^{n}(a^{-1})_{n-i}a_{i}a_{0}^{-1}\qquad (n\geq 1)}$

거리 공간 구조

형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}\neq b_{n}\}}\qquad (a\neq b)}$

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.^{[1]:132, §III.7, Exercise 5} 이는 다항식환 ${\displaystyle R[x]}$의 완비화이다.^{[1]:132, §III.7, Exercise 6}

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

${\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}$

는 부분합의 점렬

${\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1}x,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\dots )}$

의 극한이다.

형식적 로랑 급수

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 형식적 로랑 급수체 ${\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))}$은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

${\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=\operatorname {Frac} (K[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]])=\operatorname {Frac} (K[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]])}$

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, ${\displaystyle p\in K((x))}$는

${\displaystyle p=\sum _{i=m}^{\infty }p_{i}x^{i}}$

의 꼴로 전개할 수 있다 (${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

${\displaystyle K[x][y]\cong K[x,y]}$

${\displaystyle K(x)(y)\cong K(x,y)}$

${\displaystyle K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]}$

가 성립하지만, ${\displaystyle K((x,y))}$와 ${\displaystyle K((x))((y))}$는 서로 다른 체이다. 일반적으로, ${\displaystyle K((x,y))}$는 ${\displaystyle K(x)((y))}$의 부분환이며, 단사 준동형

${\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{x}}{\hookrightarrow }}K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))}$

${\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{y}}{\hookrightarrow }}K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))}$

이 존재한다. 예를 들어,

${\displaystyle \iota _{x}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))}$

${\displaystyle \iota _{y}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))}$

이다. 그러나 ${\displaystyle \iota _{x}}$ 및 ${\displaystyle \iota _{y}}$는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{-n^{2}}y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota _{x}(K((x,y)))}$

이다.^[2]

같이 보기

• 다항식환
• 퓌죄 급수
• 국소화 (환론)