형태학적 골격

디지털 이미지 처리에서 형태학적 골격(영어: morphological skeleton)은 형태학적 연산자로 계산한 모양이나 이진 이미지의 골격(또는 중앙 축(Medial Axis)) 표현이다.

이진 이미지에 있는 도형의 골격 추출의 예시이다

형태학적 골격은 두 종류가 있다:

• 재생성할 수 있는 원래 모양에서 형태학적 열기를 통해 정의된 것과,
• 모양의 위상을 보존하는 적중과 비적중 변환으로 계산한 것이 있다.

열기를 통한 골격

Lantuéjoul의 공식

연속적인 이미지

(Lantuéjoul 1977)에서,^[1] Lantuéjoul는 연속 이진 이미지 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$의 골격에 대안 다음의 형태학적 공식을 고안했다:

${\displaystyle S(X)=\bigcup _{\rho >0}\bigcap _{\mu >0}\left[(X\ominus \rho B)-(X\ominus \rho B)\circ \mu {\overline {B}}\right]}$,

이 때, ${\displaystyle \ominus }$와 ${\displaystyle \circ }$는 각각 형태학적 침식과 열기이고, ${\displaystyle \rho B}$는 반지름이 ${\displaystyle \rho }$인 열린 공이고, ${\displaystyle {\overline {B}}}$는 ${\displaystyle B}$의 폐포이다.

이산적인 이미지

${\displaystyle n=0,1,\ldots }$이고 B가 구조적 요소일 때, ${\displaystyle \{nB\}}$를 다음 모양의 집합으로 두자:

${\displaystyle nB=\underbrace {B\oplus \cdots \oplus B} _{n{\mbox{ times}}}}$,

${\displaystyle 0B=\{o\}}$, 이 때 o는 원점을 의미한다.

변수 n은 구조적 요소의 크기라고 부른다.

Lantuéjoul의 공식은 다음과 같이 이진화 된다. 이산 이진 이미지 ${\displaystyle X\subset \mathbb {Z} ^{2}}$에 대해서, 골격 S(X)는 ${\displaystyle n=0,1,\ldots ,N}$인 다음의 골격 부분집합(skeleton subsets) ${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$의 합집합:

${\displaystyle S_{n}(X)=(X\ominus nB)-(X\ominus nB)\circ B}$.

골격에서 재생성

원본 모양 X는 다음과 같이 골격 부분집합 ${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$으로부터 재생성할 수 있다:

${\displaystyle X=\bigcup _{n}(S_{n}(X)\oplus nB)}$.

부분적인 재생성도 할 수 있으며, 원본 모양의 열린 버전을 만든다:

${\displaystyle \bigcup _{n\geq m}(S_{n}(X)\oplus nB)=X\circ mB}$.

최대 디스크의 중심으로의 골격

${\displaystyle nB_{z}}$를 ${\displaystyle nB}$를 점 z로 이동시킨 것이라고 생각하자. 즉, ${\displaystyle nB_{z}=\{x\in E|x-z\in nB\}}$이다.

z를 중심으로 하는 모양 ${\displaystyle nB_{z}}$는 다음을 만족하면 집합 A의 최대 디스크(maximal disk)라고 불린다:

• ${\displaystyle nB_{z}\in A}$이고,
• 어떤 정수 m과 어떤 점 y에 대해서 ${\displaystyle nB_{z}\subseteq mB_{y}}$이면, ${\displaystyle mB_{y}\not \subseteq A}$이다.

각 골격 부분집합 ${\displaystyle S_{n}(X)}$은 모든 크기가 n인 최대 디스크의 중심으로 이루어져 있다.