호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

정의

순수 호지 구조

무게가 ${\displaystyle n}$인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, 영어: pure Hodge structure) ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:Definition 1}

• 자유 아벨 군 ${\displaystyle H}$
• 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 ${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle p+q=n+1}$이라면, ${\displaystyle F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}=\{0\}}$, ${\displaystyle F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C} }$

순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}}$

${\displaystyle {\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}}$

무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) ${\displaystyle h^{\bullet ,n-\bullet }}$는 다음과 같다.

${\displaystyle h^{p,n-p}=\dim _{\mathbb {C} }H^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}$

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$ 위의, 복소수 곱셈군 ${\displaystyle \mathbb {S} (\mathbb {R} )=\mathbb {C} ^{\times }}$의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle H^{p,q}}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$의 작용이 ${\displaystyle z\colon v\mapsto z^{p}{\bar {z}}^{q}v}$의 꼴인 성분이다.

같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) ${\displaystyle f\colon H\to H'}$은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

• ${\displaystyle f(H^{p,q})\subset \bigoplus _{i\geq 0}H'^{p+i,q-i}}$

무게 ${\displaystyle k}$의 두 개의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle H'}$이 주어졌을 때, 직합 ${\displaystyle H\oplus H'}$ 역시 무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$와 무게 ${\displaystyle k'}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H'}$이 주어졌을 때, 텐서곱 ${\displaystyle H\otimes H'}$은 무게 ${\displaystyle kk'}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$ 위의 극성화(極性化, 영어: polarization) ${\displaystyle Q}$는 다음 조건들을 만족시키는, ${\displaystyle H}$ 위의 정수 이차 형식이다.

• ${\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=(-1)^{k}\mathbb {Q} ^{\mathbb {C} }(b,a)\qquad \forall a,b\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$
• ${\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\neq (q',p')}$
• ${\displaystyle i^{p-q}Q(a,{\bar {a}})\in \mathbb {R} ^{+}\forall a\in H^{p,q}\setminus \{0\}}$

혼합 호지 구조

혼합 호지 구조(混合Hodge構造, 영어: mixed Hodge structure) ${\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:Definition 10(1)}

• 아벨 군 ${\displaystyle H}$
• ${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} }$ 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 ${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{k}}$. 이를 호지 여과(Hodge濾過, 영어: Hodge filtration)라고 한다.
• ${\displaystyle H\otimes \mathbb {Q} }$ 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 ${\displaystyle W_{0}\subseteq W_{1}\subseteq \cdots \subseteq W_{m}=H\otimes \mathbb {Q} }$. 이를 무게 여과(-濾過, 영어: weight filtration)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=(W_{n}/W_{n-1})\otimes \mathbb {C} }$ 위의 감소 여과 ${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )/(W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )}$는 무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })}$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) ${\displaystyle h^{\bullet ,\bullet }}$는 다음과 같다.^{[1]:Definition 10(3)}

${\displaystyle h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}\operatorname {gr} _{p+q}^{W}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}$

두 혼합 호지 구조 ${\displaystyle (H,F,W)}$, ${\displaystyle (H',F',W')}$ 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) ${\displaystyle f\colon H\to H'}$은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.

• ${\displaystyle f(F^{p})\subseteq F'^{p}}$
• ${\displaystyle f(W_{k}H)\subseteq W'_{k}}$

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(영어: Tannakian category)를 이룬다.

다양체의 호지 구조

켈러 다양체

콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) ${\displaystyle X}$의 복소수 계수 특이 코호몰로지 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )=H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} }$는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n}$

이는 무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합

${\displaystyle H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$

은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는

${\displaystyle W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$

이며, 호지 여과는

${\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}}$

이다.

두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 ${\displaystyle f\colon M\to M'}$은 순수 호지 구조의 사상

${\displaystyle f^{*}\colon H^{n}(M')\to H^{n}(M)}$

을 유도한다.^{[1]:Example 7}

비완비 비특이 대수다양체

(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle k}$차 특이 코호몰로지 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )}$ 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )}$ 위에 존재하는 무게는 ${\displaystyle k,k+1,\dots ,\min\{2\dim _{\mathbb {C} }X,2k)}$이다.^{[1]:Theorem 8[2][3]}

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H^{k}(X;\mathbb {Q} )\neq 0\implies k\leq n\leq \min\{2\dim _{\mathbb {C} }U,2k\}}$

또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.

비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 닫힌 비특이 부분다양체 ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$

혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다.^[1] 이 경우 ${\displaystyle H^{\bullet }(X)}$는 순수 호지 구조이지만, ${\displaystyle H^{\bullet }(X,Y)}$ 및 ${\displaystyle H^{\bullet }(Y)}$는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

특이 대수다양체

보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다.^[4] 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.^[5]

관련 개념

호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, 영어: variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.^[6][7][8]

호지 가군(Hodge加群, 영어: Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(일본어: 斎藤 盛彦)가 도입하였다.^[9]

예

무게 0 또는 1의 호지 구조

임의의 아벨 군 ${\displaystyle H}$에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

${\displaystyle F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

만약 호지 구조의 차수 ${\displaystyle (p,q)}$가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군 ${\displaystyle H}$ 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 ${\displaystyle (p,q)}$가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ 위의 복소구조

${\displaystyle J\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$

${\displaystyle J^{2}=-1}$

와 같다. 이 경우,

${\displaystyle H^{1,0}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=iv\}}$

${\displaystyle H^{0,1}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=-iv\}}$

이다. 여기서

${\displaystyle J^{\mathbb {C} }\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

${\displaystyle (J^{\mathbb {C} })^{2}=-1}$

는 ${\displaystyle J}$의 복소수체로의 선형 확대이다.

보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 ${\displaystyle H}$ 위에, 짝수 무게 ${\displaystyle 2n}$의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.^{[1]:Example 1}

${\displaystyle H^{p,q}={\begin{cases}H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} &(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\neq (n,n)\end{cases}}}$

테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure) ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위에 정의되는, 무게 ${\displaystyle -2}$의 순수 호지 구조이다.^{[1]:Example 2} 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 ${\displaystyle -2n}$의 호지 구조는 ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$으로 쓴다.

테이트 뒤틂

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$ 및 정수 ${\displaystyle r}$가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(영어: Tate twist) ${\displaystyle H(r)}$는 다음과 같은, 무게 ${\displaystyle k+2r}$의 순수 호지 구조이다.^{[1]:Example 3}

• 아벨 군으로서, ${\displaystyle H(r)=H}$
• ${\displaystyle H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}}$

구멍을 뚫은 타원 곡선

복소수 타원 곡선 ${\displaystyle E}$에 서로 다른 닫힌 점 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{k}\in E}$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.^{[1]:Example 18} 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k+1}\qquad (k>1)}$

${\displaystyle H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\qquad (k>0)}$

상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to H^{0}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{1}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

즉, 이는 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle 0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to 0}$

긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{2}\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k}\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} \to 0}$

즉,

${\displaystyle \operatorname {gr} _{0}^{W}H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=2}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}$

이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

횡단 교차

대수다양체 ${\displaystyle X}$가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{2}}$의 합집합이며, ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{2}}$는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.^[10]:§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i-1}}}H^{i}(X)\to H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})\to H^{i}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i}}}H^{i+1}(X)\to \cdots }$

이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 ${\displaystyle H^{i}(X_{1}\cap X_{2})}$와 ${\displaystyle H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})}$는 무게 ${\displaystyle i}$의 순수 호지 구조를 가지지만, ${\displaystyle H^{i}(X)}$는 일반적으로 무게 ${\displaystyle i}$ 및 ${\displaystyle i-1}$을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle W_{j}(H^{i}(X))={\begin{cases}H^{i}(X)&j\geq i\\\operatorname {im} \delta _{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}}}$