호프 대수

수학에서 호프 대수(영어: Hopf algebra)는 곱셈과 쌍대곱셈(comultiplication)이 정의되고, 두 구조가 앤티포드(영어: antipode)라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다.^[1][2][3][4]

정의

R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다.

• (곱셈 영어: multiplication) ${\displaystyle \nabla \colon H\otimes H\to H}$
• (단위원 영어: unit) ${\displaystyle \eta \colon R\to H}$
• (쌍대곱셈 영어: comultiplication) ${\displaystyle \Delta \colon H\to H\otimes H}$
• (쌍대단위원 영어: counit) ${\displaystyle \epsilon \colon H\to R}$
• (앤티포드 영어: antipode) ${\displaystyle S\colon H\to H}$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (${\displaystyle a,b,c\in H}$, ${\displaystyle r\in R}$)

• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle R}$에 대한 가군이고, ${\displaystyle \nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon ,S}$ 모두 R-선형 변환이다.
• ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
  • (결합법칙) ${\displaystyle \nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \nabla )=\nabla \circ (\nabla \otimes \operatorname {id} )}$
  • (단위원의 존재) ${\displaystyle \nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \eta )=\nabla \circ (\eta \otimes \operatorname {id} )=\operatorname {id} }$
• ${\displaystyle (H,\Delta ,\epsilon )}$은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
  • (쌍대결합법칙) ${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta }$
  • (쌍대단위원의 존재) ${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \epsilon )\circ \Delta =(\epsilon \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\operatorname {id} }$
• 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H는 이중대수(영어: bialgebra)를 이룬다. 즉,
  • (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) ${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \otimes \nabla )\circ (\operatorname {id} \otimes \tau \otimes \operatorname {id} )\circ (\Delta \otimes \Delta )}$. 여기서 ${\displaystyle \tau \colon a\otimes b\to b\otimes a}$이다.
  • (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) ${\displaystyle \epsilon \otimes \epsilon =\epsilon \circ \nabla }$
  • (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) ${\displaystyle \eta \otimes \eta =\Delta \circ \eta }$
  • (단위원과 쌍대단위원의 호환성) ${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\operatorname {id} }$
• (앤티포드) ${\displaystyle \nabla \circ (S\otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\operatorname {id} \otimes S)\circ \Delta }$

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림(영어: commutative diagram)으로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

하인츠 호프의 이름을 땄다.

예

	조건	쌍대곱	쌍대단위원	앤티포드
군대수 ${\displaystyle R[G]}$	${\displaystyle G}$는 임의의 군	Δ(g) = g ⊗ g	ε(g) = 1	S(g) = g−1
텐서 대수 T(V)	V는 임의의 벡터 공간	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ V)	ε(x) = 0	S(x) = −x (x ∈ V)
보편 포락 대수 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 리 대수	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$)	ε(x) = 0	S(x) = −x

응용

호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.^[5][6]

역사

호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.^[7]