홀함수와 짝함수
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수학에서 홀함수(영어: odd function) 또는 기함수(奇函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 덧셈 역원인 실수 함수이다. 짝함수(영어: even function) 또는 우함수(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. 해석학의 테일러 급수와 푸리에 급수 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 멱함수의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다.


정의
실수 함수 의 정의역 가 를 만족시키는 구간이라고 하자.
- 만약 임의의 에 대하여 라면, 를 홀함수라고 한다.
- 만약 임의의 에 대하여 라면, 를 짝함수라고 한다.
성질
요약
관점
홀함수이자 짝함수는 영함수밖에 없다. 이는 항상 이기 때문이다.
홀함수도 짝함수도 아닌 함수는 존재한다. 예를 들어, 은 이므로 홀함수도 짝함수도 아니다.
홀함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.
짝함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.
함수는 항상 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같다.
짝함수 의 집합은 -대수를 이루며, 홀함수 의 집합은 -벡터 공간을 이룬다. 함수 의 공간은 이들의 직합이다.
연산에 대한 닫힘
홀짝성이 주어진 함수의 사칙 연산의 홀짝성에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
- 홀함수와 홀함수의 합·차는 홀함수이다.
- 짝함수와 짝함수의 합·차는 짝함수이다.
- 영이 아닌 홀함수와 영이 아닌 짝함수의 합·차는 홀함수도 짝함수도 아니다.
- 홀함수와 홀함수의 곱·몫은 짝함수이다.
- 홀함수와 짝함수의 곱·몫은 홀함수이다. 특히, 홀함수의 상수곱은 홀함수이다.
- 짝함수와 짝함수의 곱·몫은 짝함수이다. 특히, 짝함수의 상수곱은 짝함수이다.
미분 가능 함수의 경우, 다음 성질들이 성립한다.
- 홀함수의 미분은 짝함수이다.
- 짝함수의 미분은 홀함수이다.
그래프
어떤 함수가 짝함수의 필요 충분 조건은, 그래프가 축에 대하여 대칭인 것이다.
어떤 함수가 홀함수일 필요 충분 조건은, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것이다.
적분
홀함수 의 적분은 다음과 같다.
짝함수 의 적분은 다음과 같다.
테일러 급수
짝함수의 매클로린 급수는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다. 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.
푸리에 급수
짝 주기 함수의 푸리에 급수는 코사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
홀 주기 함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
예
요약
관점



홀함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
짝함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
같이 보기
외부 링크
- “Even function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Odd function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Odd function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Even function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Even and odd functions”. 《PlanetMath》 (영어).
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