확률 흐름

확률 흐름(probability current)은 양자역학에서 확률 밀도의 흐름의 정도를 나타내는 값이다.

도입

시간당 확률밀도의 변화를 구해보면,

${\displaystyle {\partial \over \partial t}P(x,t)={\partial \over \partial t}|\psi (x,t)|^{2}={\partial \over \partial t}\psi ^{*}\psi ={\partial \psi ^{*} \over \partial t}\psi +\psi ^{*}{\partial \psi \over \partial t}}$

여기에 슈뢰딩거 방정식을 대입하면

${\displaystyle {\partial \over \partial t}P(x,t)}$	${\displaystyle ={\partial \psi ^{*} \over \partial t}\psi +\psi ^{*}{\partial \psi \over \partial t}}$
	${\displaystyle ={1 \over i\hbar }{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\psi ^{*} \over \partial x^{2}}\psi -\psi ^{*}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}\right)}$
	${\displaystyle =-{\partial \over \partial x}\left[{\frac {\hbar }{2im}}\left(\psi ^{*}{\partial \psi \over \partial x}-{\partial \psi ^{*} \over \partial x}\psi \right)\right]}$

을 얻는다. 여기서 확률의 시간 미분이 어떤 값의 좌표 미분값과 같으므로 이 값을 일종의 흐름으로 생각할 수 있다.

정의

확률흐름은 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle j(x,t)={\frac {\hbar }{2im}}\left(\psi ^{*}{\partial \psi \over \partial x}-{\partial \psi ^{*} \over \partial x}\psi \right)}$

성질

확률밀도와 확률흐름은 아래와 같은 관계를 지니고 있다.

${\displaystyle {\partial \over \partial t}P(x,t)+{\partial \over \partial x}j(x,t)=0}$