올뭉치

위상수학에서 올뭉치(영어: fibration 파이브레이션^[*]) 또는 올화(-化) 또는 파이버화(fiber化)는 올다발의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 호모토피 동치이지만 위상동형이 아닐 수 있다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 함수 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ 및 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle \pi }$가 ${\displaystyle X{\overset {\times 0}{\hookrightarrow }}X\times [0,1]}$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다고 한다.

임의의

• 호모토피 ${\displaystyle f\colon X\times [0,1]\to B}$
• ${\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}_{0}=f|_{X\times \{0\}}}$인 연속 함수 ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon X\to E}$

에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$가 존재한다.

• ${\displaystyle f=\pi \circ {\tilde {f}}}$
• ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}={\tilde {f}}|_{X\times \{0\}}}$

즉, 다음 그림과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {{\tilde {f}}_{0}}}&E\\{\scriptstyle \times \{0\}}\downarrow &\nearrow \scriptstyle {\tilde {f}}&\downarrow \scriptstyle \pi \\X\times [0,1]&{\xrightarrow[{f}]{}}&B\end{matrix}}}$

위상 공간 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 함수 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$가 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 후레비치 올뭉치(영어: Hurewicz fibration)라고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 함수 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$가 임의의 CW 복합체 ${\displaystyle X}$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 세르 올뭉치(영어: Serre fibration)라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$의, ${\displaystyle b\in B}$에서의 올(영어: fiber)은 원상 ${\displaystyle f^{-1}(b)\subseteq E}$이다.

성질

${\displaystyle B}$가 파라콤팩트 공간이라면, 올다발 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

만약 ${\displaystyle B}$가 경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치 ${\displaystyle E\to B}$의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요가 없다.

밑 ${\displaystyle B}$가 경로 연결 공간인 올다발 ${\displaystyle E\to B}$의 올이 ${\displaystyle F}$라면, 전체 공간 ${\displaystyle E}$의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F)}$

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.

예

모든 올다발은 (모든 올이 서로 위상 동형인) 세르 올뭉치이다.

임의의 경로 연결 점을 가진 공간 ${\displaystyle (X,\bullet _{X})}$에 대하여, 고리 공간 ${\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }}$ 및 경로 공간 ${\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }}$을 생각하자. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {I} }$는 밑점 0을 가진 폐구간 ${\displaystyle [0,1]}$이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow {\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X}$

여기서 사영 사상 ${\displaystyle {\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X}$는 다음과 같다.

${\displaystyle (\gamma \colon [0,1]\to X,\gamma (0)=\bullet _{X})\mapsto \gamma (1)}$

역사

세르 올뭉치의 개념은 장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다.^[1] 후레비치 올뭉치의 개념은 비톨트 후레비치가 1955년에 도입하였다.^[2]

같이 보기

• 모형 범주
• 올다발