6차원 회전군

리 군론에서 6차원 회전군(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의

6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (6;\mathbb {R} )}$이다. 그 딘킨 도표는

${\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }$

이다.

6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

즉, ${\displaystyle \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}$이다.

그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.

킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	유니터리·선형군 기호	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,15)		Spin(6)	SU(4)	${\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle \circ -\circ -\circ }$	콤팩트 형태
(5,10)	A₃Ⅱ, D₃Ⅱ	Spin(1,5)	${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {SU} ^{*}(4)}$	${\displaystyle \bullet -\circ -\bullet }$	${\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } }$
(8,7)	A₃Ⅲ, D₃Ⅱ	Spin(2,4)	SU(2,2)	${\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } }$	${\displaystyle \circ -\bullet -\circ }$
(9,6)	A₃Ⅰ, D₃Ⅰ	Spin(3,3)	${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \circ -\circ -\circ }$	${\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }$	분할 형태
(10,5)	A₃Ⅲ, D₃Ⅲ	SO*(6)	SU(3,1)	${\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }$	${\displaystyle \bullet -\circ -\circ }$

사타케 도표에서, 중괄호 (${\displaystyle \underbrace {\color {White}m} }$)는 화살표(${\displaystyle \leftrightarrow }$)를 나타낸다.

성질

콤팩트 형태

Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 ${\displaystyle \mathbf {4} }$ 및 그 복소수 켤레 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {4} }}}$에 해당한다.

마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 ${\displaystyle \mathbf {6} }$은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.

Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)}$에서, 이는

${\displaystyle \{\mathrm {i} ^{a}1_{4\times 4}\colon a\in \{0,1,2,3\}\}\subsetneq \operatorname {SU} (4)}$

에 해당한다. 이 중심은 몫군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (6)}$에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 ${\displaystyle \{\pm 1_{6\times 6}\}}$에 해당한다.

분할 형태

Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. ${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$에서, 이는

${\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}\subsetneq \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$

에 해당한다.

Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 ${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.

실수 차원	Spin(3,3) 묘사	${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$ 묘사	${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$ 영 타블로
4	오른쪽 마요라나-바일 스피너	벡터 (정의 표현)	□
4′	왼쪽 마요라나-바일 스피너	(0,1)-텐서 (쌍대 벡터)	□ □ □
6	벡터 (정의 표현)	반대칭 2-텐서	□ □
10	자기 쌍대 3-텐서	대칭 (2,0)-텐서	□□
10′	자기 반쌍대 3-텐서	대칭 (0,2)-텐서	□□ □□ □□
15	반대칭 2-텐서 (딸림표현)	무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현)	□□ □ □
20	대칭 무대각합 2-텐서	대칭-반대칭 4-텐서	□□ □□
20′	오른손 벡터-스피너	대칭-반대칭 (3,0)-텐서	□□ □
20″	왼손 벡터-스피너	대칭-반대칭 (0,3)-텐서	□□ □□ □
20‴	자기 쌍대 3-텐서-스피너	완전 대칭 (3,0)-텐서	□□□
20⁗	자기 반쌍대 3-텐서-스피너	완전 대칭 (0,3)-텐서	□□□ □□□ □□□

이들의 텐서곱은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {4} '\otimes \mathbf {4} '=\mathbf {6} \oplus \mathbf {10} }$

${\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} '=\mathbf {1} \oplus \mathbf {15} }$

${\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} '\oplus \mathbf {20} '}$

${\displaystyle \mathbf {4} '\otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} \oplus \mathbf {20} ''}$

SO(1,5)

Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}$의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 ${\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(4)}$의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.

Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}$에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)

SO(2,4)

Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,2)}$의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.

SU(1,3)

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)}$은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}$의 반대칭 2-텐서 표현이다.

또한, ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}$의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)}$의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.

참고 문헌

• Sbaih, Mahmoud A. A.; Srour, Moeen K. H.; Hamada, M. S.; Fayad, H.M. (2013). “Lie algebra and representation of SU(4)” (PDF). 《Electronic Journal of Theoretical Physics》 (영어) 10 (28): 9–26. ISSN 1729-5254. 2018년 4월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 2월 3일에 확인함.

외부 링크

• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).