BRST 양자화

BRST 양자화(영어: BRST quantization) 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화(영어: Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization)는 게이지 이론을 양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

역사

카를로 베키(이탈리아어: Carlo Maria Becchi), 알랭 루에(프랑스어: Alain Rouet), 레몽 스토라(프랑스어: Raymond Félix Stora)^[1][2], 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴(러시아어: И́горь Ви́кторович Тю́тин)^[3] 이 1970년대에 도입하였다.

전개

게이지 이론의 상태공간 ${\displaystyle H}$는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수(영어: ghost number)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 ${\displaystyle Q}$는 반전성 ${\displaystyle -1}$ (홀수), 유령수 1을 가진다.

${\displaystyle H_{n}}$이 유령수 ${\displaystyle n}$을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 ${\displaystyle Q:H_{n}\to H_{n+1}}$이다. ${\displaystyle Q^{2}=0}$이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다.

실재하는 상태는 ${\displaystyle Q}$의 코호몰로지, 즉 벡터 공간 ${\displaystyle \ker Q_{n+1}/\operatorname {Im} Q_{n}}$의 원소다.

일반적 게이지 이론의 양자화

일련의 장 ${\displaystyle \phi _{i}}$와 게이지 대칭 ${\displaystyle \delta _{\alpha }}$를 생각하자. 이들이 리 대수

${\displaystyle [\delta _{\alpha },\delta _{\beta }]={f_{\alpha \beta }}^{\gamma }\delta _{\gamma }}$

를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 ${\displaystyle F^{A}(\phi _{i})=0}$을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 ${\displaystyle S_{0}}$이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{V_{\text{gauge}}}}\int D\phi \;\exp(-S_{0})=\int D\phi \;DB_{A};Db_{A}Dc^{\alpha }\exp(-S)}$

여기서 새 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle S=S_{0}+i\int B_{A}F^{A}(\phi )+\int b(\delta _{\alpha }F^{A})c^{\alpha }}$

여기서 ${\displaystyle b_{A}}$, ${\displaystyle c^{\alpha }}$는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용 ${\displaystyle S}$는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.

${\displaystyle \delta \phi _{i}=-i\epsilon c^{\alpha }\delta _{\alpha }\phi _{i}}$

${\displaystyle \delta b_{A}=-\epsilon B_{A}}$

${\displaystyle \delta c^{\alpha }=-{\frac {1}{2}}\epsilon c^{\beta }c^{\gamma }{f_{\beta \gamma }}^{\alpha }}$

${\displaystyle \delta B_{A}=0}$

여기서 ${\displaystyle \epsilon }$은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 ${\displaystyle Q}$라고 부르자. 이는 ${\displaystyle Q^{2}=0}$을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 ${\displaystyle \ker Q/\operatorname {Im} Q}$이다.

양-밀스 이론의 양자화

리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 ${\displaystyle G^{a}=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}}$을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령장 ${\displaystyle b^{a}}$와 ${\displaystyle c^{a}}$가 필요하다. 여기에 보조장 ${\displaystyle B^{a}}$를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

여기에 BRST 연산자 ${\displaystyle Q}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle QA=Dc}$

${\displaystyle Qc={i \over 2}[c,c]_{L}}$

${\displaystyle QB=0}$

${\displaystyle Qb=B}$

같이 보기

• 바탈린-빌코비스키 대수