J-적분

J-적분(영어: J-integral)은 재료의 변형 에너지 방출률 또는 단위 파괴 표면적당 일(에너지)을 계산하는 방법을 나타낸다.^[1] J-적분에 대한 이론적 개념은 1967년 G. P. 체레파노프^[2]와 1968년 제임스 R. 라이스에 의해 독립적으로 개발되었으며,^[3] 이들은 에너지 경로 적분(J라고 함)이 균열 주변의 경로와 무관하다는 것을 보여주었다.

선형 탄성 파괴역학(LEFM)이 유효하기에는 너무 작은 시료 크기에서 임계 파괴 특성을 측정할 수 있도록 하는 적분을 사용하여 실험 방법이 개발되었다.^[4] 이러한 실험을 통해 모드 I 하중에서 전파 중 대규모 소성 항복이 발생하는 지점을 정의하는 파괴 에너지 J_Ic의 임계 값으로부터 파괴 인성을 결정할 수 있다.^[1][5]

J-적분은 단조함수 하중을 받는 물체의 균열에 대한 변형 에너지 방출률과 같다.^[6] 이는 일반적으로 준정적 조건에서 선형탄성 재료에 대해서만 해당된다. 균열 선단에서 작은 규모의 항복을 겪는 재료의 경우, J는 모드 III (반평면 전단)의 단조 하중과 같은 특별한 상황에서 에너지 방출률을 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 균열 선단에서 작은 규모의 항복을 겪는 순수 멱법칙 경화 소성 재료의 경우 J로부터 변형 에너지 방출률을 계산할 수 있다.

J 값은 탄성-소성 재료의 단조 모드 I 및 모드 II 하중의 경우 경로 독립적이지 않으므로, 균열 선단에 매우 가까운 윤곽선만이 에너지 방출률을 제공한다. 또한, 라이스는 비비례 하중이 없을 때 소성 재료에서 J가 경로 독립적이라는 것을 보여주었다. 하중 제거는 이의 특별한 경우이지만, 비비례 소성 하중 또한 경로 독립성을 무효화한다. 이러한 비비례 하중은 탄성-소성 재료에서 평면 내 하중 모드에 대한 경로 의존성의 원인이다.

2차원 J-적분

그림 1. 2차원에서 노치 주변의 선 J-적분

2차원 J-적분은 원래 다음과 같이 정의되었다.^[3] (그림 1 참조)

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

여기서 W(x₁,x₂)는 변형 에너지 밀도이고, x₁,x₂는 좌표 방향이며, t = [σ]n은 표면 마찰 벡터이고, n은 곡선 Γ에 대한 법선이며, [σ]는 코시 응력 텐서이고, u는 변위 벡터이다. 변형 에너지 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

균열 선단 주변의 J-적분은 종종 더 일반적인 형태^[7] (및 지수 표기법)로 표현된다.

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

여기서 ${\displaystyle J_{i}}$는 ${\displaystyle x_{i}}$ 방향으로 균열이 열리는 것에 대한 J-적분의 구성요소이고 ${\displaystyle \varepsilon }$는 균열 선단 주변의 작은 영역이다. 그린 정리를 사용하면 경계 ${\displaystyle \Gamma }$가 닫혀 있고 특이점을 포함하지 않으며 단일 연결된 영역을 둘러쌀 때 이 적분이 0임을 보일 수 있다. 균열 표면에 표면 마찰이 없으면 J-적분은 경로 독립적이다.

라이스는 또한 J-적분 값이 평면 균열 성장에 대한 에너지 방출률을 나타낸다는 것을 보여주었다. J-적분은 비선형 탄성 또는 탄성-소성 재료에서 균열에 가까운 변형력을 계산하는 데 어려움이 있었기 때문에 개발되었다. 라이스는 단조 하중(소성 하중 제거 없음)을 가정하면 J-적분을 소성 재료의 에너지 방출률을 계산하는 데도 사용할 수 있다는 것을 보여주었다.

닫힌 경로에 대한 J-적분이 0임을 증명

J-적분의 경로 독립성을 보이기 위해 먼저 단순히 연결된 영역에서 닫힌 윤곽선에 대한 ${\displaystyle J}$ 값이 0임을 보여야 한다. ${\displaystyle J_{1}}$에 대한 표현식을 살펴보자. ${\displaystyle J_{1}:=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma }$ 이를 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle J_{1}=\int _{\Gamma }\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)n_{j}\,d\Gamma }$ 그린 정리 (또는 2차원 발산 정리)에 따라 다음과 같다. ${\displaystyle \int _{\Gamma }f_{j}~n_{j}~d\Gamma =\int _{A}{\cfrac {\partial f_{j}}{\partial x_{j}}}~dA}$ 이 결과를 사용하여 ${\displaystyle J_{1}}$을 다음과 같이 표현할 수 있다. ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\int _{A}{\cfrac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)dA\\&=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-{\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}\right]~dA\end{aligned}}}$ 여기서 ${\displaystyle A}$는 윤곽선 ${\displaystyle \Gamma }$로 둘러싸인 영역이다. 이제 체력이 없는 경우, 평형(선형 운동량 보존)은 다음과 같아야 한다. ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {0} \qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}=0~.}$ 또한, ${\displaystyle [{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\qquad \implies \qquad \varepsilon _{jk}={\tfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)~.}$ 따라서, ${\displaystyle \sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\tfrac {1}{2}}\left(\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}+\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\right)}$ 각운동량 평형으로부터 ${\displaystyle \sigma _{jk}=\sigma _{kj}}$이다. 따라서, ${\displaystyle \sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}=\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}}$ J-적분은 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle J_{1}=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}\right]~dA}$ 이제, 탄성 재료의 경우 응력은 저장 에너지 함수 ${\displaystyle W}$로부터 다음과 같이 유도될 수 있다. ${\displaystyle \sigma _{jk}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}}$ 그러면, 탄성 계수 텐서가 균질하다면, 연쇄 법칙을 사용하여 다음과 같다. ${\displaystyle \sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}}$ 따라서, 균열이나 공극과 같은 탄성적 불균질성이 없는 단일 연결된 영역을 둘러싸는 닫힌 윤곽선에 대해 ${\displaystyle J_{1}=0}$이다.

J-적분이 경로 독립적임을 증명

그림 2. 2차원에서 노치 주변의 적분 경로. 윤곽선 ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma ^{+}+\Gamma _{2}+\Gamma ^{-}}$를 고려하자. 이 윤곽선은 닫혀 있고 단일 연결된 영역을 둘러싸므로, 윤곽선 주변의 J-적분은 0이다. 즉, ${\displaystyle J=J_{(1)}+J^{+}-J_{(2)}-J^{-}=0}$ 균열 선단 주변의 시계 반대 방향 적분이 양의 부호를 갖는다고 가정한다. 이제, 균열 표면은 ${\displaystyle x_{1}}$ 축에 평행하므로, 이 표면에서 법선 성분 ${\displaystyle n_{1}=0}$이다. 또한, 균열 표면은 마찰이 없으므로, ${\displaystyle t_{k}=0}$이다. 따라서, ${\displaystyle J^{+}=J^{-}=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{k}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma =0}$ 따라서, ${\displaystyle J_{(1)}=J_{(2)}}$ J-적분은 경로 독립적이다.

J-적분과 파괴인성

등방성, 완벽하게 취성인, 선형 탄성 재료의 경우, 균열이 원래 방향에 대해 똑바로 전진하면 J-적분은 파괴인성과 직접적으로 관련될 수 있다.^[6]

평면 변형률의 경우, 모드 I 하중 조건에서 이 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$는 임계 변형 에너지 방출률이고, ${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$는 모드 I 하중에서 파괴인성이고, ${\displaystyle \nu }$는 푸아송 비이고, E는 재료의 영률이다.

모드 II 하중의 경우, J-적분과 모드 II 파괴인성(${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$) 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

모드 III 하중의 경우, 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

탄성-소성 재료와 HRR 해

2차원 탄성-소성 재료의 균열 주변 J-적분 계산 경로.

허친슨, 라이스, 로젠그렌^[8][9]은 균열 선단에서 소성 영역의 크기가 균열 길이에 비해 작을 때 J가 비선형(멱법칙 경화) 탄성-소성 재료의 균열 선단에서 특이 응력 및 변형률 장을 특징짓는다는 것을 추가로 보여주었다. 허친슨은 W. 람베르그와 W. 오스굿이 제안한 형태의 재료 구성 법칙을 사용했다.^[10]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

여기서 σ는 일축 인장에서의 응력이고, σ_y는 항복 응력이고, ε는 변형률이며, ε_y = σ_y/E는 해당 항복 변형률이다. 양 E는 재료의 탄성 영률이다. 이 모델은 재료의 무차원 상수 α와 가공 경화 계수 n으로 매개변수화된다. 이 모델은 응력이 단조적으로 증가하고, 하중이 진행됨에 따라 응력 성분이 대략 동일한 비율을 유지하며(비례 하중), 하중 제거가 없는 상황에만 적용 가능하다.

인접 그림에 표시된 물체에 원거리 인장 응력 σ_far가 가해지면, 경로 Γ₁(탄성 영역 내에 완전히 놓이도록 선택됨) 주변의 J-적분은 다음과 같다.

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

균열 주변의 총 적분이 사라지고 균열 표면을 따른 기여가 0이므로, 다음과 같다.

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

경로 Γ₂를 완전 소성 영역 내에 있도록 선택하면 허친슨은 다음과 같이 나타냈다.

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

여기서 K는 응력 진폭이고, (r,θ)는 균열 선단을 원점으로 하는 극좌표계이고, s는 균열 주변의 응력 장의 점근적 확장으로부터 결정된 상수이며, I는 무차원 적분이다. Γ₁과 Γ₂ 주변 J-적분 사이의 관계는 다음과 같은 제약을 유도한다.

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

그리고 원거리 응력에 대한 K의 표현식

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

여기서 β = 1은 평면 응력이고 β = 1 − ν²는 평면 변형률 (ν는 푸아송 비)이다.

응력 장의 점근적 확장과 위 아이디어를 사용하여 J-적분 측면에서 응력 및 변형률 장을 결정할 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

여기서 ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$와 ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$는 무차원 함수이다.

이러한 표현식은 J가 선형 탄성 파괴역학에서 사용되는 응력확대계수(K)의 소성 유사체로 해석될 수 있음을 나타내며, 즉 J > J_Ic와 같은 기준을 균열 성장 기준으로 사용할 수 있다.

같이 보기

• 파괴 인성
• 인성
• 파괴역학
• 응력확대계수
• 슬립 밴드 국부장의 특성