대수적 K이론
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수학에서 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 K이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는 군이라는 대상이 할당된다. 이들은 군이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, 정수의 군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.
이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수적 다형체에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째 군인 만 정의했지만 이 군 하나에도 그로텐디크-리만-로흐 정리와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 모티브 코호몰로지, 특히 저우 군과의 연결을 통해 (고차) 대수적 이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 L 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.
다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분 군이 먼저 발견되었다. 예를 들어, 가 체인 경우 는 정수 와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. 가환 환 의 경우, 군 은 의 피카드 군과 관련되며, 이 슈체에서 정수환일 때 이는 유군의 고전적 구성을 일반화한다. 군 은 단원군 과 밀접하게 관련되어 있으며 이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체 의 경우 군 는 유체론, 힐베르트 기호 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차 군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 대니얼 퀼런의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차 군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.