리만 기하학
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미분기하학의 하위 분야인 리만 기하학(Riemannian geometry)은 리만 계량이 주어진 매끄러운 다양체를 다룬다. 여기에서 리만 계량이란 다양체의 점에 따라 매끄럽게 변하는 접공간 상의 양의 정부호 이차 형식을 말한다. 이는 국소적으로 각도와 곡선의 길이 및 부피의 개념을 준다. 이 국소적인 값들을 적분해서 대역적인 양을 얻을 수 있다.
모든 매끄러운 다양체는 리만 계량을 주어 리만 다양체로 만들 수 있고, 이는 미분위상수학의 문제를 해결하는 데 많은 도움을 준다. 리만 다양체는 일반 상대성 이론의 주 대상인 준 리만 다양체나 핀슬러 다양체 및 스프레이 공간 등으로 일반화된다.