무모순적 이론
수리논리학에서 무모순적 이론 / From Wikipedia, the free encyclopedia
수리논리학에서 무모순적 이론(無矛盾的理論, 영어: consistent theory)은 거짓을 추론할 수 없는 이론이다. 이러한 성질을 무모순성(無矛盾性, 영어: consistency) 또는 일관성(一貫性)이라고 한다. 즉, 무모순적 이론에서는 스스로 와 그 부정 를 모두 증명할 수 있는 문장 가 존재하지 않는다.[1] (그러나 긍정할 수도, 부정할 수도 없는 문장은 존재할 수 있다.) 반면 모순적인 이론은 모든 문장이 증명 가능하므로 무의미한 이론이 된다. (귀류법은 어떤 문장이 성립하지 않는다고 가정하고 모순을 유도하여 가정이 틀렸음을 보이는데, 모순적 이론 아래에서는 이러한 가정을 하지 않더라도 이미 모순이 존재한다. 따라서 모든 문장은 참이며, 모든 문장의 부정 역시 문장이므로 모든 문장은 거짓이다.)
관련된 개념으로 만족 가능 이론이 있다. 무모순성이 구문론적으로 정의되는 반면, 만족 가능성은 의미론적 개념이다. 어떤 이론이 모형을 갖는다면 만족 가능하다고 한다. (즉, 모든 공리가 참이 되는 해석을 갖춘 구조가 존재하여야 한다.) 건전한 형식 체계의 모든 만족 가능 이론은 무모순적 이론이지만, 그 역은 성립하지 않는다. (건전성에 의하여, 이론에서의 추론 과정은 모형 이론적 진리를 보존하며, 이론에서 증명 가능한 모든 문장은 모형에서도 참이다. 특히 이론이 모순을 증명할 수 있다면 모형 속에도 모순이 존재하는데, 이는 불가능하다.) 1차 논리 형식 체계는 건전하며 (건전성 정리), 또한 1차 이론의 무모순성과 만족 가능성은 동치이다 (괴델의 완전성 정리).