곱셈 역원
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수학에서, 어떤 수의 곱셈 역원(-逆元, 영어: multiplicative inverse) 또는 역수(逆數, 영어: reciprocal)는 그 수와 곱하면 곱셈 항등원(1)이 되는 수를 말한다. 두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다. 의 곱셈 역원은 와 같이 표기하거나 와 같이 쓸 수 있다. 곱하여 1이 되는 두 수를 '서로 곱셈 역원'이라 하기도 하는데, 이는 곱셈 역원 관계가 대칭 관계이기 때문에 가능한 표현이다. 즉, 만약 가 의 곱셈 역원이라면, 역시 의 곱셈 역원이다.
예를 들어, 유리수 의 곱셈 역원은 이다. 실수 의 곱셈 역원은 이며, 복소수 의 곱셈 역원은 이다. 보다 일반적으로, 유리수 의 곱셈 역원은 항상 이며, 복소수 의 곱셈 역원은 항상 이다. 0이 아닌 복소수의 곱셈 역원은 항상 존재하며, 또한 항상 유일하다. 그러나 0은 곱셈 역원을 가질 수 없는데, 이는 0에 아무런 수를 곱하여도 0이 되기 때문이다. 각 실수를 그 곱셈 역원으로 대응시키는 함수 는 반비례 함수의 예이다. 이러한 이름은 변숫값과 함숫값이 반비례 관계를 이룬다는 데에서 왔다.
곱셈 역원의 개념은 모든 모노이드에서 다룰 수 있다. 이 경우 교환 법칙이 성립한다는 보장이 없으므로 곱셈 역원은 두 가지 순서로 곱하였을 때 모두 곱셈 항등원인 두 원소의 관계로 정의된다. 단지 왼쪽 또는 오른쪽에 곱하였을 때 곱셈 항등원이 된다고 요구할 경우 왼쪽 역원과 오른쪽 역원의 개념을 얻는다.모든 원소가 곱셈 역원을 갖는 모노이드를 군이라고 한다. 곱셈 역원의 개념은 환에서도 다뤄지며, 이 경우 곱셈 역원을 갖는 원소는 가역원이라고 불린다. 이들 가역원은 가역원군이라는 군을 이룬다. 환의 가역원이 유일한 역원을 가질 필요충분조건은 모든 0이 아닌 원소가 가역원을 갖는 경우를 나눗셈환이라고 하며, 여기에 곱셈 교환 법칙을 추가하면 가장 익숙한 체의 정의가 완성된다.