Quantitas imaginaria

Quantitas imaginaria, vel numerus imaginarius, est numerus complexus cuius quadratus est negativus. Hic est numerus formae bi, ubi ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Alii numerum imaginarium hoc modo definiunt; alii definiunt numerum imaginarium esse numerum a+bi formae, ubi ${\displaystyle b\neq 0}$, atque numerum imaginarium purum esse numerum bi formae.^[1]

Illustratum planum complexum: quantitates imaginaria sunt in axe directo.

Hieronymus Cardanus primus fuit qui numeros finxit imaginarios, at non perintellexit. Eos proposuit adhibendos ad problemata cubica, sicut x3 + ax = b, solvenda in Artis Magnae, expositione eius libri de algebra, anno 1545 editi.^[2]

Definitio

Ullus numerus complexus datus, z, scribi potest

${\displaystyle z=x+iy,\ }$

ubi ${\displaystyle x\ }$ et ${\displaystyle y\ }$ sunt numeri reales et ${\displaystyle i}$ quantitas imaginaria, quae conplet formulam:

${\displaystyle i^{2}=-1.\ }$

Hoc autem est falsum:

${\displaystyle {-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {{-1}\cdot {-1}}}={\sqrt {1}}=1}$

quod non licet dicere ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {{-1}\cdot {-1}}}}$

Scripsit huius rationem simpliciter anno 1781 Nicolaus Fuss, mathematicus Suecicus, qui sub Leonhardo Eulero laboravit, "Tentamen demonstrationis quod omnis quantitas imaginaria ad formam A + B(√—1) reduci possit." ^[3]

Tametsi Renatus Cartesius ab intio dixit "numerum imaginarium" esse quempiam numerum complexum, hodie quantitas imaginaria est numerus complexus cuius pars realis valet 0, ergo B(i)

Plus aequationum

${\displaystyle i^{2}=-1\ ,}$

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\ ,}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\ ,}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\ ,}$

Historia

Ut super scriptum, Hieronymus Cardanus prius finxit numero imaginarios, anno 1545 at confessus est non bene eos intelligere.

Raphael Bombelli primus quantitates imaginarias bene descripsit anno 1572, in sua Algebra^[4]

Prius quantitates imaginariae, sicut cifra et numeri negativi, putabantur nugae esse. Multi fuerunt mathematici qui aestimabant eas esse vel falsas vel inutiles. Renatus Cartesius scripsit de eis in sua Geometria, ubi appellatio ferit quasi irrisio.^[5]

Nihilominus, etiam Cartesius vidit utilitatem: "Quemadmodum , tametsi tres imaginari possimus in hac , x3—6xx+13x—10 = 0 ; tamen una tantùm est realis; nempe 2; & quod ad reliquas duas attinet, quamvis illae augeantur , diminuantur, aut multiplicentur, sicut jam exposui ; tamen non nisi imaginariae fieri possunt."^[6]

De usu litterae i

Leonhardus Eulerus (1707–1783) littera i pro quantitate imaginaria anno 1777 in scriptis suis at non editis uti coepit, quae autem scripta, Eulero mortuo, in libro Institutione calculi integralis anno 1794 edita sunt.

Die 5 Maii 1777, Eulerus commentarium De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet ad academiam misit, quae etiam in Institutione calculi integralis editus est.^[7][8]

• "Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi nisi per imaginaria procedendo, formulam √–1 littera i in posterum designabo, ita ut sit ii = –1 ideoque 1/i = –i."
• "Cum enim numerorum negativorum Logarithmi sint imaginarii . . . erit log(-n) quantitas imaginaria, quae sit = i."

Nexus interni

• Numerus realis
• Numerus quaternus