Elipse

Elipse (grieķu: ελλειφις — ‘trūkums’) ir plaknes līnija, kuras jebkura punkta attālumu līdz diviem fiksētiem punktiem summa ir konstanta. Šos divus fiksētos punktus sauc par elipses fokusiem. Elipsi var iegūt kā riņķa līnijas projekciju citā plaknē, kā arī šķeļot konusu ar plakni un cilindru ar plakni. Elipses speciāls gadījums ir riņķa līnija.

Elipse iegūta kā konusa šķēlums ar plakni

Elipse

Īpašības

• Elipse ir gluda, slēgta un izliekta plaknes līnija;
• Elipsei ir divas simetrijas asis, kas ir savstarpēji perpendikulāras.
• Elipse ir otrās kārtas plaknes līkne.

Vienādojums

Elipses kanoniskais vienādojums ir ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$, kur ${\displaystyle a\ }$ un ${\displaystyle b\ }$ ir elipses pusasis.

Elipses parametriskie vienādojumi ir

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\ \\y=b\sin t\end{cases}}}$

kur ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$.

Formulas

• ekscentricitāte: ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}<1}$ vai ${\displaystyle \epsilon ={\frac {c}{a}}}$, kur ${\displaystyle a>b}$
• elipses laukums: ${\displaystyle S=\pi ab\,}$
• attālums no elipses centra līdz tās fokusiem: ${\displaystyle f={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=a\varepsilon }$
• elipses fokālais parametrs: ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$
• ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}}$, kur ${\displaystyle 2c}$ ir attālums starp fokusiem un ${\displaystyle a>b}$.

Elipses perimetra aprēķināšana

Elipses, ar pusasīm a un b, perimetrs ir vienāds ar

${\displaystyle P(a,b)=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}dt}$

Ja elipses pusasis a un b ir vienādas, tad elipse ir riņķa līnija ar rādiusu a, tāpēc tās perimetrs ir ${\displaystyle 2\pi a}$. Savukārt, ja elipses pusasis a un b ir dažādas, tad šādas elipses perimetrs ir izsakāms ar eliptiskajiem integrāļiem, kas nav izsakāmi ar elementārajām funkcijām. Tāpēc ir izveidotas daudzas elipses perimetra tuvinātas aprēķināšanas. Piemēram:

• ${\displaystyle P(a,b)\approx 2\pi \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

• ${\displaystyle P(a,b)\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right)}$.

Elipses optiskā īpašība

Elipsei piemīt šāda optiskā īpašība: ja vienā tās fokusā novieto gaismas avotu, tad no tā izejošie stari pēc atstarošanās nonāk otrā elipses fokusā.

Skatīt arī

• Elipsoīds
• Eliptiskais paraboloīds
• Fokālais rādiuss
• Hiperbola
• Parabola
• Riņķa līnija

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Ellipse, MathWorld.