Gamma funkcija

Gamma funkcija jeb otrā veida Eilera integrālis matemātikā ir faktoriāla vispārinājums. To apzīmē ar lielo grieķu burtu gamma Γ. Gamma funkcija ir definēta jebkuram reālam un kompleksam skaitlim, izņemot veselus negatīvus skaitļus, tātad visiem pozitīviem skaitļiem:

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

Gamma funkcijas grafiks

Kompleksam skaitlim z, kura reālā daļa ir pozitīva, to definē ar konverģentu neīsto integrāli:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.}$

Gamma funkcija ir kompleksā mainīgā analītiska transcendenta funkcija. To pielieto matemātiskajā analīzē, speciālo funkciju teorijā, matemātiskajā fizikā, varbūtību teorijā un citās nozarēs.

Izmantojot Gamma funkciju, var aprēķināt faktoriālu, piemēram, skaitļiem formā ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}$, kur n = 0, 1, 2, …:

${\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\prod _{k=0}^{n}{\frac {2k+1}{2}}.}$

Piemēram,

${\displaystyle 3{,}5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11{,}63.}$

Atsevišķas vērtības

Atsevišķas Gamma funkcijas vērtības ir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Gamma (-{\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1)&=(-2)!&&=\infty \\\Gamma (-{\tfrac {1}{2}})&=-2{\sqrt {\pi }}&&\approx -3.544907701811\\\Gamma (0)&=(-1)!&&=\infty \\\Gamma ({\tfrac {1}{2}})&={\sqrt {\pi }}&&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&&=1\\\Gamma ({\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&&=1\\\Gamma ({\tfrac {5}{2}})&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&&=2\\\Gamma ({\tfrac {7}{2}})&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&&=6\end{alignedat}}}$

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts^{[novecojusi saite]}
• MathWorld ieraksts