Kvadrāts

Kvadrāts ir plakana Eiklīda ģeometrijas figūra. Tas ir regulārs četrstūris, kuram visas četras malas ir vienāda garuma un visi četri iekšējie leņķi ir taisni (katrs 90°). Tas ir simetrisks, slēgts daudzstūris, kas pieder gan pie taisnstūriem, gan rombiem, tādējādi to var uzskatīt par īpašu gadījumu, kurā vienlaikus izpildās taisnstūra īpašības (visi leņķi ir taisni, pretējās malas ir vienādas un paralēlas) un romba īpašības (visas malas vienāda garuma, diagonāles krustpunktā sadala viena otru perpendikulāri). Kvadrāts ir viens no vienkāršākajiem regulārajiem daudzstūriem (tas ir, vienādmalu un vienādstūru daudzstūris), un tam piemīt plašs simetrijas īpašību kopums, tostarp četras simetrijas asis, rotācijas simetrija un diagonāļu perpendikuls un vienādais to garums. Kvadrāti bieži sastopami gan matemātiskā teorijā, gan praktiskā dizainā, arhitektūrā un inženierzinātnēs.

Šis raksts ir par ģeometrisku figūru. Par citām jēdziena kvadrāts nozīmēm skatīt nozīmju atdalīšanas lapu.

Vienkāršs kvadrāta piemērs

Īpašības

Starp taisnstūriem (augšējā rinda) kvadrāts ir ar vienādām malām (vidējā figūra), savukārt starp rombiem (apakšējā rinda) kvadrāts ir ar vienādiem leņķiem (vidējā figūra)

Kvadrātam piemīt vairākas būtiskas ģeometriskas īpašības, kas izriet no tā definīcijas kā regulāram četrstūrim — figūrai ar vienāda garuma malām un vienādiem leņķiem. Šīs īpašības padara kvadrātu par vienu no regulārākajiem daudzstūriem, un tā simetrija bieži tiek izmantota matemātiskos pierādījumos, dizainā un konstrukcijā. Tam piemīt taisnstūra un romba īpašības, jo ir šo figūru īpašs gadījums.

• Kvadrāta visas tā četras malas ir vienādi garas.
• Kvadrātam visi iekšējie leņķi ir vienādi, tas ir, 90°.
• Kvadrāta diagonāles ir vienāda garuma un to krustpunktā tās dalās uz pusēm.
• Kvadrāta diagonāles savstarpēji ir perpendikulāras.
• Kvadrāta diagonāles iekšējos leņķus dala uz pusēm; tās ir bisektrises.
• Kvadrātam var apvilkt un tajā var ievilkt riņķa līniju.
• Kvadrātam ir četras simetrijas asis — divas, kas iet cauri pretējo malu viduspunktiem, un divas, kas savieno pretējos stūrus (diagonāles).
• Kvadrātām piemīt rotācijas simetrija. Kvadrātu var pagriezt ap tā centru par 90°, 180°, 270° un 360°, un tas saglabās savu formu un orientāciju.

Formulas

Kvadrāts ir viena no visvienkāršākajām un vienlaikus visbiežāk analizētajām plaknes ģeometriskajām figūrām. Tās matemātiskās īpašības var aprakstīt ar vairākām formulām, kas saistītas ar malas garumu ${\displaystyle a}$, laukumu ${\displaystyle S}$, perimetru ${\displaystyle P}$, diagonāles garumu ${\displaystyle d}$, ievilktās riņķa līnijas rādiusu ${\displaystyle r}$ un apvilktās riņķa līnijas rādiusu ${\displaystyle R}$.

• Kvadrāta, kura malas garums ir ${\displaystyle a}$, laukums ir ${\displaystyle S=a^{2}}$. Vēl laukumu var aprēķināt pēc formulas ${\displaystyle S=2R^{2}=4r^{2}}$, kur ${\displaystyle R}$ — ap kvadrātu apvilktās riņķa līnijas rādiuss, ${\displaystyle r}$ — kvadrātā ievilktās riņķa līnijas rādiuss.
• Kvadrāta diagonāles garums ir ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$.
• Kvadrātā ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir ${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$.
• Ap kvadrātu apvilktās riņķa līnijas rādiuss ir ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a}$.
• Kvadrāta perimetrs ir ${\displaystyle P=4a}$. Vēl perimetru var aprēķināt pēc formulas ${\displaystyle P=4{\sqrt {2}}R}$ vai arī ${\displaystyle P=8r}$, kur R — ap kvadrātu apvilktās riņķa līnijas rādiuss, r — kvadrātā ievilktās riņķa līnijas rādiuss, a — kvadrāta malas garums.

Kvadrāts koordinātu plaknē

Koordinātu plaknē (Dekarta sistēmā) kvadrātu iespējams aprakstīt, izmantojot punktu koordinātas, vektorus, attālumu formulu un skalāro reizinājumu. Analītiskajā ģeometrijā kvadrāta īpašības tiek pārbaudītas, izmantojot šīs matemātiskās metodes, lai noteiktu, vai četri punkti veido kvadrātu, kā arī lai aprēķinātu tā parametrus.

Vienkāršākais kvadrāta piemērs koordinātu plaknē ir kvadrāts ar virsotnēm A(0;0), B(a;0), C(a;a), D(0;a), kur a>0 ir kvadrāta malas garums. Šajā gadījumā visas malas ir garuma a, visi leņķi ir taisni (90°), diagonāles AC un BD ir vienādas un krustojas taisnā leņķī punktā E(a/2; a/2).

Lai pārbaudītu, vai četri punkti A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),D(x₄,y₄) veido kvadrātu, izmanto šādus analītiskās ģeometrijas principus:

1. visas malas ir vienāda garuma: AB=BC=CD=DA. Malu garumi tiek aprēķināti ar attāluma formulu: ${\displaystyle d\left(PQ\right)={\sqrt {\left(x_{Q}-x_{P}\right)^{2}+\left(y_{Q}-y_{P}\right)^{2}}}}$.
2. visi leņķi ir taisni — to pārbauda, izmantojot skalāro reizinājumu starp blakusmalu vektoriem: ${\displaystyle {\vec {AB}}\cdot {\vec {BC}}=0}$ ⇒ leņķis ABC ir taisns.
3. diagonāles ir vienāda garuma un perpendikulāras: ${\displaystyle AC=BD}$, ${\displaystyle {\vec {AC}}\cdot {\vec {BD}}=0}$.

Ja šie nosacījumi izpildās, dotie punkti veido kvadrātu. Šāda veida analīze koordinātu plaknē ļauj matemātiski stingri noteikt kvadrātu, kā arī izmantot to skaitliskos algoritmos, grafiskās vizualizācijās un inženiertehniskās programmās.

Polimino

Pamatraksts: polimino

Plaknes figūras, ko iegūst, ņemot kvadrātu, pie tā pieliekot klāt tādu pašu kvadrātu tā, lai tiem būtu kopīga mala, iegūtai figūrai pieliekot klāt tādu pašu kvadrātu, kam ir kopīga mala ar kādu no iepriekšējiem kvadrātiem, utt. sauc par polimino.

Skatīt arī

• Taisnstūris
• Kubs