Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$

kur ${\displaystyle x}$ ir nezināmais un ${\displaystyle a}$ ≠ 0. Izteiksmi ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ saknes ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ var aprēķināt pēc formulas

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

jeb (izvērstā veidā)

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad \quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Lietot var arī - ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$

Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

${\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}$

sauc par kvadrātvienādojuma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

• ja ${\displaystyle D>0}$, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
• ja ${\displaystyle D=0}$, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas ${\displaystyle x=-b/2a}$;
• ja ${\displaystyle D<0}$, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ saknes ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$, tad attiecīgo kvadrāttrinomu ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ var sadalīt reizinātājos:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\,}$

Vjeta teorēma

Ja ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ ir kvadrātvienādojuma ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu ${\displaystyle p}$, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\quad \quad x_{1}x_{2}=q.}$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, kur ${\displaystyle a}$ ≠ 0, un ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ ir tā saknes, tad

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a.}$

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ ir kvadrātvienādojuma ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ saknes, tad ir spēkā vienādība

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=x^{2}+px+q.\,}$

Atverot iekavas, iegūstam

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\\&=x^{2}\underbrace {-(x_{1}+x_{2})} _{p}x+\underbrace {x_{1}x_{2}} _{q}.\end{aligned}}}$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, kur ${\displaystyle a}$ ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar ${\displaystyle a}$ un iegūt kvadrātvienādojumu

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$

Šis kvadrātvienādojums ir formā ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ kur ${\displaystyle p=b/a}$ un ${\displaystyle q=c/a}$, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a,}$

kur ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ ir vienādojuma ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad ${\displaystyle x_{1}}$ un ${\displaystyle x_{2}}$ ir arī vienādojuma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ saknes.

Skatīt arī

• Bikvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineārs vienādojums
• Polinoms
• Vienādojums

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
• Quadratic formula Arhivēts 2009. gada 15. augustā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Quadratic equation in C Arhivēts 2010. gada 27. aprīlī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Derivation of quadratic formula Arhivēts 2008. gada 2. decembrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
• Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation Arhivēts 2007. gada 10. novembrī, Wayback Machine vietnē., 101 uses of a quadratic equation: Part II Arhivēts 2007. gada 22. oktobrī, Wayback Machine vietnē., Plus, 2004.