Бјенемеово неравенство

Бјенемеово неравенство (француски: Bienaymé) се изучува во теоријата на веројатност. Ова неравенство е генерализација на Чебишовото и неравенството на Марков.

Теорема

Нека ${\displaystyle X}$ е случајна променлива. Тогаш за произволни броеви ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle n}$ важи следното неравенство:

${\displaystyle P\{|X-a|\geq \epsilon \}\leq {\frac {E\{{|X-a|}^{n}\}}{{\epsilon }^{n}}}}$

забелешка 1: За ${\displaystyle a=\eta =E\{X\}}$ и ${\displaystyle n=2}$ се добива неравенството на Чебишов.

забелешка 2: За ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle n=1}$ се добива неравенството на Марков.

Доказ

Ако во неравенството на Марков на местото на случајната променлива ${\displaystyle X}$ се стави случајната променлива ${\displaystyle {|X-a|}^{n}}$, и на местото на константата ${\displaystyle \alpha }$ се стави константата ${\displaystyle {\epsilon }^{n}}$, тогаш важи:

${\displaystyle P\{{|X-a|}^{n}\geq {\epsilon }^{n}\}\leq {\frac {E\{{|X-a|}^{n}\}}{{\epsilon }^{n}}}}$

од каде директно се добива бараното неравенство.

Наводи

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Поврзано

• Ирене-Жил Бјенеме
• Чебишово неравенство
• Марково неравенство
• Љапуново неравенство