Гранична вредност на низа

Гранична вредност на низа или лимес на низа на реални броеви ${\displaystyle a_{n}}$ - точка ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ при што за секоја нејзина околина ${\displaystyle U}$ постои природен број ${\displaystyle n_{0}}$, така што ${\displaystyle a_{n}\in U}$ за сите броеви ${\displaystyle n>n_{0}}$, т.е. така што почнувајќи од некој член, сите понатамошни членови на низата ѝ припаѓаат на таа околина.

Со сини точки е прикажан графиконот на конвергентната низа {a_n}. И визуелно може да се види дека низата тежи кон нула со растењето на n.

Дефиниција

${\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U}$.

Гранична вредност на конвергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на конвергентните низи, т.е. за низи ${\displaystyle a_{n}}$ кои тежат кон некое ${\displaystyle a}$, каде ${\displaystyle a}$ е конечен број, може да се запише како:

${\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .}$

Гранична вредност на дивергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на дивергентните низи, т.е. за низи ${\displaystyle a_{n}}$ кои тежат кон некое ${\displaystyle a=\pm \infty }$, може да се запише како:

${\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|>\epsilon .}$

Кошиева низа

Главна статија: Кошиева низа

Сините точки го прикажуваат графиконот на Кошиева низа (x_n), чија вредност се отчитува на „y“-оската. И визуелно може да се види дека низата конвергира кон својата гранична вредност кога n расте. Во множеството на реални броеви секоја Кошиева низа е конвергентна.

Кошиевата низа, која го добила името по истакнатиот француски математичар Огистен Луј Коши, е низа на реални броеви x_n која е дефинирана на следниов начин:

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )}$.

Кошиевата низа е тесно поврзана со поимот на гранична вредност на низа, бидејќи секоја Кошиева низа конвергира. Ако знаеме дека некоја низа е Кошиева, однапред знаеме дека таа има конечна гранична вредност.

Литература

• Наум Целакоски, Верица Бакева, Боривоје Миладиновиќ, Јово Стефановски: Математика за IV година средно стручно образование, Скопје, 2010, ISBN 978-608-226-048-8 Архивирано на 24 јуни 2016 г.

Поврзано

• Портал: Математика

• Гранична вредност на функција
• Низа
• Конвергентност