Група (математика)

Група — алгебарска структура што се состои од множество заедно со бинарна операција која е асоцијативна, има неутрален елемент и за секој елемент во множеството има инверзен елемент.

Групата е една од најраспространетите структури во математиката. Често се појавува во контекст на симетрии, но има и други примени. Целите броеви ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ заедно со операцијата собирање претставуваат група.

Дефиниција

Една група е множество ${\displaystyle G}$ заедно со операција ${\displaystyle \cdot :G\times G\to G}$, така што:

• операцијата е асоцијативна, т.е.${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ за секои ${\displaystyle a,b,c\in G}$.
• постои елемент ${\displaystyle e\in G}$, така што ${\displaystyle g\cdot e=e\cdot g=g}$ за секој ${\displaystyle g\in G}$, наречен неутрален елемент
• за секој елемент ${\displaystyle g\in G}$ постои елемент ${\displaystyle h\in G}$, така што ${\displaystyle g\cdot h=h\cdot g=e}$, наречен инверзен елемент. Овој елемент обично се означува со ${\displaystyle g^{-1}}$.

Една група се нарекува Aбелова (по норвешкиот математичар Абел) или комутативна, ако за сите ${\displaystyle g,h\in G}$ важи ${\displaystyle gh=hg}$.

Кардиналитетот на множеството на една група се нарекува ред на групата. Една група се нарекува конечна ако нејзиното множество е конечно.

Често ${\displaystyle \cdot }$ се испушта и наместо ${\displaystyle g\cdot h}$ пишуваме ${\displaystyle gh}$.

Неутралниот елемент во една група е единствен. Нека ${\displaystyle e'\in G}$ е уште еден неутрален елемент. Тогаш ${\displaystyle e\cdot e'=e'}$, бидејќи ${\displaystyle e}$ е неутрален елемент. Но исто така ${\displaystyle e\cdot e'=e}$, бидејќи ${\displaystyle e'}$ е неутрален елемент. Од тоа следи дека ${\displaystyle e=e'}$.

Исто така и инверзниот елемент на еден елемент е единствен. Нека ${\displaystyle h,h'}$ се инверзени елементи на ${\displaystyle g}$. Тогаш ${\displaystyle h=eh=(h'g)h=h'(gh)=h'}$.

Третото барање може да се олабави: Доволно е да са претпостави дека секој елемент има десен (или симетрично лев) инверзен елемент. Нека е ${\displaystyle h}$ десен инверзен елемент на ${\displaystyle g}$. Тогаш и ${\displaystyle h}$ има десен инверзен елемент ${\displaystyle g'}$. Исто како горе важи ${\displaystyle g=ge=g(hg')=(gh)g'=eg'=g'}$. Ова значи дека ${\displaystyle h}$ е инверзен елемент на ${\displaystyle g}$ (од двете страни).

Примери

Цели броеви

Целите броеви заедно со обичното собирање претставуваат Абелова група.

Тривијална група

Множеството ${\displaystyle \{e\}}$ заедно со единствената можна операција ${\displaystyle e\cdot e=e}$ сочинуваат Абелова група.

Симетрична група

Нека ${\displaystyle X}$ е произволно множество и нека ${\displaystyle \operatorname {Bij} (X,X)}$ е множеството на сите инвертибилни функции ${\displaystyle X\to X}$. Тогаш ${\displaystyle \operatorname {Bij} (X,X)}$ е група заедно со композиција на функции. Голем број на групи настануваат на сличен начин со додавање на дополнителни рестрикции на функциите.

Ако ${\displaystyle X=\{1,2,\dots ,n\}}$, тогаш пишуваме ${\displaystyle S_{n}:=\operatorname {Bij} (X,X)}$ и ја нарекуваме оваа група ${\displaystyle n}$-та симетрична група.

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st. изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551.