Елипса

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат фокуси на елипсата, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)

Елипсата има два пречници (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. Оските на елипсата се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

Елипсата се добива како пресек на конус и рамнина

Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

Параметарска равенка на елипса

Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем Oxy и нејзината главна оска е по оската x, е определена со канонската равенка:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (x = 0, y = b).

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:

${\displaystyle x=a\,\cos t}$

${\displaystyle y=b\,\sin t}$

${\displaystyle 0\leq t<2\pi }$

При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската x, истата може да биде претставена со равенката

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

Ексцентрицитет

Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со e. Ексцентрицитетот е поврзан со a и b преку равенството

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

каде ${\displaystyle c}$ (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на a со b и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2ae.

Површина

Површината на елипсата е:

${\displaystyle P=ab\pi }$

каде a и b се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа. До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

Доказ. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е

${\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}$

${\displaystyle =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt}$

${\displaystyle =4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t}$

${\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .}$

Со што доказот е завршен.

Обем

Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:

${\displaystyle O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}$

Што е исто што и:

${\displaystyle O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }}$

Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:

${\displaystyle O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}$

Која може да се запише и како:

${\displaystyle O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}$

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:

${\displaystyle O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,}$

Својства како рефлектор

Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

Елипсата во физиката

Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

Елипсоид

Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика елипсоид. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.