Елипса

From Wikipedia, the free encyclopedia

Елипса
Remove ads

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат фокуси на елипсата, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Thumb
Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)

Елипсата има два пречници (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. Оските на елипсата се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

Thumb
Елипсата се добива како пресек на конус и рамнина

Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

Remove ads

Параметарска равенка на елипса

Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем Oxy и нејзината главна оска е по оската x, е определена со канонската равенка:

Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (x = 0, y = b).

Thumb

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:

При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската x, истата може да биде претставена со равенката

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

Remove ads

Ексцентрицитет

Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со e. Ексцентрицитетот е поврзан со a и b преку равенството

каде (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на a со b и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2ae.

Remove ads

Површина

Површината на елипсата е:

каде a и b се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа. До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

Доказ. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е

Со што доказот е завршен.

Remove ads

Обем

Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:

Што е исто што и:

Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:

Која може да се запише и како:

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:

Remove ads

Својства како рефлектор

Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

Елипсата во физиката

Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

Елипсоид

Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика елипсоид. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.

Наводи

Надворешни врски

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads