Инјективна функција

Во математиката, инјективна функција е функција f : A → B ако различни елементи од A се пресликуваат во различни елементи од B, односно за секој елемент b од кодоменот B постои најмногу еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b.^[1][2]

Инјекција. Максимум една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Терминот инјективност и сродните термини сирјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)^[3] (и група други, главно француски математичари од 20 век) кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

Не е инјекција. Постои елемент во кодоменот В со две стрелки од (различни) елементи од доменот А.

Основни својства

Формално имаме:

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  е инјективна функција ако  ${\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}$  или еквивалентно

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  е инјективна функција ако  ${\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}$

Елементот ${\displaystyle a}$ се вика претслика на елементот ${\displaystyle b}$. Претслика на секој елемент во кодоменот на една инјекција не мора да постои. Во првата слика, елементот {4} нема претслика. Baжно е да има максимум една претслика. (Види и: Сурјективна функција, Бијективна функција)

• Една од најважните особини на инјективните функции е тоа дека инверзна релација на инјективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзни функции како што е квадратен корен, логаритамска функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Кардиналност

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4.^[4]

• Ако кардиналноста на кодоменот е помала од кардиналноста на доменот, функцијата не е инјекција. (Едноставно кажано, нема начин да се пресликаат 6 елементи во 5 елементи без дупликат.)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

• Графичко толкување: функцијата f е инјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во најмногу една точка (една или ниедна).
• Алгебарско толкување: функцијата f е инјективна ако f(x_o)=f(x₁) значи x_o=x₁.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е инјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е инјекција (и сурјекција, така што е бијекција). (Види линеарна функција.)

Доказ: Нека x_o и x₁ се реални броеви. Претпоставиме дека се пресликуваат во истиот број, т.е. a·x_o+b=a·x₁+b. Следува a·x_o=a·x₁. Бидејќи a≠0, следува x_o=x₁. Значи кои било два броеви кои се пресликуваат во истиот број се исти. Докажано е дека функцијата y=ax+b каде што a≠0 е инјективна.

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x³ е инјективна. Меѓутоа, кубната полиномна функција f(x)=x³ –3x не е инјективна.

Дискусија 1: Која било хоризонтална права го пресекува графиконот на

f(x)=x³ точно еднаш. (Оваа функција е и сурјективна.)

Дискусија 2: На пример, y_o=2 има две предслики: x=–1 и x=2 , а всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата

f(x)=x³ –3x има повеќе од една претслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.)

Пример: Квадратната функција f(x) = x² не е инјективна. Двата броеви x=2 и x=-2 се пресликуваат во {4} со што е докажано дека оваа функција не е инјективна. (Оваа функција не е ниту сурјективна.)

Забелешка: Со ограничување на доменот, честопати можеме да дефинираме нова функција која е инјективна. На пример, со ограничување на доменот на квадратната функција имаме „нова“ функција, f_/[0,+∞)(x):[0,+∞) → ℝ каде што f_/[0,+∞)(x) = x² која сега е инјективна функција. Оваа функција се вика рестрикцијата на f до [0,+∞).

Пример: Експоненцијалната функција f(x) = 10^x е инјективна. (Оваа функција не е сурјективна.) Дискусија: Која било хоризонтална права над х-оската го пресекува графиконот на 10^x точно еднаш, а останатите хоризонтални прави не го сечат графиконот ниту еднаш.

Забелешка: Инјективноста на експоненцијална функција може да се користи на следниот начин:

${\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}$  односно

Пример:  ${\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5}$ 

Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)	Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)	Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (е сурјекција)
Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)	Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)	Инјекција. f(x):(0,+∞)→ℝ (и сурјекција)

Други примери со реални функции

Пример: Инверзната функција на 10^x, односно логаритамската функција со основа 10, f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(x) односно y=log(x) е инјективна (и сурјективна).

• Доколку двете множества A и B имаат повеќе од еден елемент, проекцијата на Декартов производ A × B на еден од неговите фактори никогаш не е инјективна функција.

Дискусија: Кардиналноста на A × B е поголема од кардиналноста на A или B.