Мера (математика)

Мера, во математиката, концепт при кој на дадено множество од некој простор му се придружува ненегативен реален број.

Неформално, мерата ги пресликува собирите во ненегативни реални броеви, така да повеќе собири се пресликуваат во поголеми броеви.

Грубо и лаички кажано, мерата означува колку од просторот зафаќа множеството. Таа се воведува од практични причини во реалниот Евклидов простор. Мерата во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност должина, во дводимензионалниот е плоштина, додека во тридимензионалниот - волумен. За сите димензии над третата се користи само терминот мера.

Конструкција на мерата

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}}$

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина ${\displaystyle \ell }$ со:

${\displaystyle \ell (a,b)=b-a}$

Нека ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ е произволно подмножество од реалните броеви, а ${\displaystyle \{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ е произволна фалимија отворени интервали таква што:

${\displaystyle E\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}={\mathcal {U}}}$

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

${\displaystyle m^{*}(E)=\inf _{E\subseteq {\mathcal {U}}}\left\{\sum _{n=1}^{\infty }\ell (I_{n})\right\}}$

Нека ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за ${\displaystyle E}$ велиме дека е мерливо множество ако:

${\displaystyle \left(\forall A\subseteq \mathbb {R} \right),\,\,\ m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cup E^{c})=m^{*}(A)}$

Ако ${\displaystyle E}$ е мерливо множество, тогаш надворешната мера на ${\displaystyle E}$ се вика Лебегова мера на ${\displaystyle E}$, и пишуваме:

${\displaystyle m(E)=m^{*}(E)}$

Својства на мерата

Најважните својства на мерата се:

• Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ важи:

${\displaystyle m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})}$

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\emptyset ,\;i\neq j}$, тогаш важи:

${\displaystyle m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})}$

• Ако за фамилијата множества ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ со конечна мера важи: ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \dots \supseteq E_{n}\supseteq \dots }$, тогаш:

${\displaystyle m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }m(E_{n})}$

Поврзано

• Количество
• Должина
• Плоштина
• Волумен