Поворка импулси

Во математиката, поворка импулси (исто така Дираков чешел и функција на примеркување во електротехниката) е периодична Шварцова распределба составена од Диракови делта функции.

${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$

Поворка од импулси како бесконечен ред на Диракова делта функција на интервали од Т.

на некој одреден временски интервал Т. Некои автори, конкретно Брејсвел, како и некои автори на учебници по електротехника и теорија на електрични кола, оваа функција ја нарекуваат функција Ш (веројатно затоа што графиконот наликува на обликот на буквата Ш). Бидејќи оваа функција е периодична, таа може да биде претставена со Фуриеов ред:

${\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}$

Својство на скалирање

Својството на скалирање следи директно од својството Дираковата делта функција

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}$

Фуриеов ред

Јасно е дека Δ _T () е периодичен со период Т. Т.е.

${\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t}$ .

Комплексниот Фуриеов ред за таква периодична функција е

${\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }$

каде што Фуриеовите коефициенти, c_n, изнесуваат

${\displaystyle c_{n}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }$

Сите Фуриеови коефициенти се 1/ Т, поради што

${\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}$ .

Фуриеова трансформација

Кога се користи како идеален одбирник, може да се употреби за да се разбере ефектот на преклопување (алијасинг) и како доказ за Никвист-Шеноновата теорема за земање примероци.

Единична трансформација во фреквенциски домен ():

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}$

Единична трансформација во аголен фреквенциски домен ():

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}$

Земање примероци и преклопување

Множењето на континуиран сигнал со поворка од импулси понекогаш се нарекува идеален одбирник со интервал на земање примероци Т.