Самосличност

Самосличност — појава во математиката при која извесни објекти се точно или приближно слични на еден нивен дел (т.е. целината има ист облик како еден или повеќе нејзини делови). Многу објекти во вистинскиот свет, од брегови до растенија се статистички самослични: нивните делови имаат исти статистички својства при многу размери.^[1] Самосличноста е типично својство на фракталите.

Самосличноста на Манделбротовото множество прикажана со увеличување на Фајгенбаумовата точка во (−1,401155189..., 0)

Размерната постојаност (инваријантност) е точен вид на самосличност каде при секое увеличување на објектот, добиваме помало делче што е слично на целината. Ваков пример е Коховата снегулка која е симетрична и размерно постојана - можеме бесконечно да ја увеличуваме за трипати без да се измени нејзиниот облик.

Дефиниција

Еден компактен тополошки простор X е самосличен ако постои бесконечно множество S што содржи множество од несуркејтивни хомеоморфизми ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$ за кои

${\displaystyle X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Ако ${\displaystyle X\subset Y}$, за X велиме дека е самосличен ако е единственото непразно подмножество на Y, така што горенаведената равенка важи за ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$. За

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})}$

велиме дека има „самослична структура“. Хомеоморфизмите можат да бидат итерирани, со што добиваме систем на итерирана функција. Составот на функциите ја создава алгебарската структура на моноид. Кога множеството S има само два елемента, моноидот се нарекува „дијаден моноид“. Дијадниот моноид може да се претстави како бинарно стебло; повоопштено, ако множеството S има p елементи, тогаш моноидот може да се претстави како p-адично стебло.

Автоморфизмите на дијадниот моноид претставуваат модуларна група. Можат да се претстават како хиперболични вртежи (ротации) на бинарното стебло.

Примери

Римска брокула - зеленчук со висок степен на самосличност

Манделбротовото множество е самослично и околу Мисјуревичевите точки.

Самосличноста е од голема важност при изработката на сметачки мрежи, бидејќи типичната прометност на мрежите има самослични својства. Ова важи воопшто за мрежниот пренос на податоци со комутација на пакети, чии шеми на прометност се статистички самослични.^[2] Ова својство значи дека едноставните модели како Поасоновата распределба се недоволно точни, па затоа мрежите што се изработени не земајќи ја предвид самосличноста најчесто имаат проблеми во работењето.

Така, движењата на берзата се опишуваат со приказ на самоафиност, т.е. се покажуваат како самослични кога ги преобразуваме со соодветна афина трансформација за прикажаниот степен на подробност.^[3]

Самосличноста ја среќаваме и во природата. Некои растенија како папратот и римската брокула се одликуваат со висок степен на самосличност.

Во музиката, Шепардовиот тон е самосличен во честотата и брановите домени.

Поврзано

• Фрактална димензија
• Рекурзија
• Зипфов закон