Скаларен производ

Скаларен производ — бинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

${\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}$

${\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}$

${\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}$

${\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}$

Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.

Приказ на стандарден скаларен производ на вектори

Скаларен производ на векторите ${\displaystyle {\vec {x}}}$ јас ${\displaystyle {\vec {y}}}$ се дефинира на следниов начин:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}}$

Притоа ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ и ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$ јас ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})}$

Пример за скаларно множење на вектори (1, 3, −5) и (4, −2, −1) во тридимензионален простор:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

Доказ

Формулата : ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако ${\displaystyle \gamma }$ е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

${\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Бидејќи ${\displaystyle {\vec {c}}}$ е еднаков на ${\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}}$, следи:

${\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Од каде се наоѓа:

${\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Оттука се добива конечната формула:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}$

Ортогонални вектори

Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите ${\displaystyle {\vec {x}}}$ и ${\displaystyle {\vec {y}}}$ да се заемно нормално добиваме:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}$ .

Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

Својства

Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

• комутативност

${\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}$

• дистрибутивност во однос на собирањето

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$

• во општ случај не е асоцијативен
• за него важи следново:

${\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Користење за пресметување на интензитет на вектор

Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.^[1]

Бидејќи:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.}$

За посебен случај кога ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}}$ еднаквоста се претвора во: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}$

Врз основа на тоа се заклучува:

${\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.}$

Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.

Примена во физиката

Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:

${\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }$

Геометриска интерпретација

Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектора и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.^[2][3]

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}$

Троен производ

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}$ Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

Проекција на вектор врз вектор

Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор^[4], т.е.

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}}$ скаларна проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}}$ скаларна проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}}$ векторска проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}}$ векторска проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$

Последици од скаларното множење

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}$ ^[5]
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}$ или барем еден од векторите е ${\displaystyle {\overrightarrow {0}}}$
• ${\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}$ ( ${\displaystyle 0<\omega <\pi }$ )

Поврзано

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ