Создавање на парови

Создавање на парови — појава при која се создава елементарна честичка и на нејзе спротивната античестичка. Обично настанува кога фотон е во земонодејство со друг бозон. Како пример при ваков судир се создаваат електрон и на него спротивната честичка позитрон. За сето ова да се случи потребна е енергија со големина поголема од енергијата на мирување на двете честички при што се зачувуваат импулсот и енергијата. Други видови на парови кои можат да бидат создадени се мион анти-мион или пак тау и анти-тау. Веројатноста за создавање на парови во заемодејствата на материјата и светлината се зголемува со зголемувањето на енергијата на фотонот и со зголемувањето на атомскиот број на начин - Z².

Примери

Грешка: нема зададено врска + Грешка: нема зададено симбол  → Грешка: нема зададено врска + Грешка: нема зададено врска

Во јадрената физика, овој настан се случува кога фотон со висока енергија заемодејстува со јадрото. Енергијата на овој фотон може да се искаже преку масата со Ајнштајновата равенка E=mc2; каде E е енергијата, m е масата c е брзината ан светлината. Фотонот мора да има доволно енергија за да ја создаде масата на електронот и онаа на позитронот. масата на мирување на еден електрон изнесува 9,11 × 10⁻³¹ kg или (0.511 MeВ), иста како и кај позитронот. Без присуство на јадро да го прифати импулсот, фотон кој се распаднува на пар електрон-позитрон ( или останати типови на парови ) никогаш нема да ги зачува енергијата и импулсот едновремено.^[1]

Заемодејство фотон-јадро

Посотјат различни процеси каде можат да се добијат пар електрон - позитрон. Во воздухот ( на пр. при електрични празнења ), но најпознато е расејувањето на фотоните од јадрата на атомите или молекулите. Со помош на квантната механика процесот на создавање на парови може да се опише со квадруполниот диференцијален напречен пресек:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma &={\frac {Z^{2}\alpha _{fine}^{3}c^{2}}{(2\pi )^{2}\hbar }}|\mathbf {p} _{+}||\mathbf {p} _{-}|{\frac {dE_{+}}{\omega ^{3}}}{\frac {d\Omega _{+}d\Omega _{-}d\Phi }{|\mathbf {q} |^{4}}}\times \\&\times \left[-{\frac {\mathbf {p} _{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{-}}{(E_{-}-c|\mathbf {p} _{-}|\cos \Theta _{-})^{2}}}\left(4E_{+}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&-{\frac {\mathbf {p} _{+}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}{(E_{+}-c|\mathbf {p} _{+}|\cos \Theta _{+})^{2}}}\left(4E_{-}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\\&+2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{+}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}+\mathbf {p} _{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{-}}{(E_{+}-c|\mathbf {p} _{+}|\cos \Theta _{+})(E_{-}-c|\mathbf {p} _{-}|\cos \Theta _{-})}}\\&+2\left.{\frac {|\mathbf {p} _{+}||\mathbf {p} _{-}|\sin \Theta _{+}\sin \Theta _{-}\cos \Phi }{(E_{+}-c|\mathbf {p} _{+}|\cos \Theta _{+})(E_{-}-c|\mathbf {p} _{-}|\cos \Theta _{-})}}\left(2E_{+}^{2}+2E_{-}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right].\\\end{aligned}}}$

каде

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{+}&=\sin \Theta _{+}\ d\Theta _{+},\\d\Omega _{-}&=\sin \Theta _{-}\ d\Theta _{-}.\end{aligned}}}$

Овој израз се добива со користење на квантно механичката симетрија меѓу создавањето на парови и запирното зрачење.
${\displaystyle Z}$ е атомскиот број, ${\displaystyle \alpha _{fine}\approx 1/137}$ е константата на фината структура, ${\displaystyle \hbar }$ е намалената Планкова константа и ${\displaystyle c}$ е брзината на светлината. Кинетичките енергии ${\displaystyle E_{kin,+/-}}$ на позитронот и електронот соодветно се поврзани со енергиите ${\displaystyle E_{+,-}}$ и импулсите ${\displaystyle \mathbf {p} _{+,-}}$ преку:

${\displaystyle E_{+,-}=E_{kin,+/-}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{+,-}^{2}c^{2}}}.}$

Зачувувањето на енергијата дава:

${\displaystyle \hbar \omega =E_{+}+E_{-}.}$

Импулсот ${\displaystyle \mathbf {q} }$ на виртуелниот фотон меѓу упадниот фотон и јадрото е:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}&=-|\mathbf {p} _{+}|^{2}-|\mathbf {p} _{-}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2|\mathbf {p} _{+}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{+}+2|\mathbf {p} _{-}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{-}\\&-2|\mathbf {p} _{+}||\mathbf {p} _{-}|(\cos \Theta _{+}\cos \Theta _{-}+\sin \Theta _{+}\sin \Theta _{-}\cos \Phi ),\end{aligned}}}$

каде насоките се дадени преку:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{+}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{+},\mathbf {k} ),\\\Theta _{-}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{-},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Agol megju ramninite }}(\mathbf {p} _{+},\mathbf {k} ){\text{ i }}(\mathbf {p} _{-},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$

каде ${\displaystyle \mathbf {k} }$ е импулсот на упадниот фотон.

За да се разгледа односот меѓу енергијата на фотонот ${\displaystyle E_{+}}$ и аголот на оддавање ${\displaystyle \Theta _{+}}$ меѓу фотонот и позитронот, со интеграција на квадруполниот напречен пресек преку просторните агли ${\displaystyle \Theta _{-}}$ and ${\displaystyle \Phi }$ Кен и Еберт ^[3] го наоѓаат дуплиот диференцијален напречен пресек,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\sigma (E_{+},\omega ,\Theta _{+})}{dE_{+}d\Omega _{+}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}\end{aligned}}}$

со

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}}}\\&\times \ln \left({\frac {(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}-{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}}(\Delta _{1}^{(p)}+\Delta _{2}^{(p)})+\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}}{-(\Delta _{2}^{(p)})^{2}-4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}-{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}}(\Delta _{1}^{(p)}-\Delta _{2}^{(p)})+\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}}}\right)\\&\times \left[-1-{\frac {c\Delta _{2}^{(p)}}{p_{-}(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})}}+{\frac {p_{+}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}{(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{-}\Delta _{2}^{(p)}}{c(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})((\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})}}\right],\\I_{2}&={\frac {2\pi Ac}{p_{-}(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})}}\ln \left({\frac {E_{-}+p_{-}c}{E_{-}-p_{-}c}}\right),\\I_{3}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}}}\\&\times \ln {\Bigg (}{\Big (}(E_{-}+p_{-}c)(4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}(E_{-}-p_{-}c)+(\Delta _{1}^{(p)}+\Delta _{2}^{(p)})((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)\\&-{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}})){\Big )}{\Big (}(E_{-}-p_{-}c)(4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}(-E_{-}-p_{-}c)\\&+(\Delta _{1}^{(p)}-\Delta _{2}^{(p)})((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)-{\sqrt {(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}})){\Big )}^{-1}{\Bigg )}\\&\times \left[{\frac {c(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)}{p_{-}(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})}}\right.\\&+{\Big [}((\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})(E_{-}^{3}+E_{-}p_{-}c)+p_{-}c(2((\Delta _{1}^{(p)})^{2}-4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})E_{-}p_{-}c\\&+\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}(3E_{-}^{2}+p_{-}^{2}c^{2})){\Big ]}{\Big [}(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}{\Big ]}^{-1}\\&+{\Big [}-8p_{+}^{2}p_{-}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{+}(E_{+}^{2}+E_{-}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{+}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}p_{-}c(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)\\&+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{-}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c){\Big ]}{\Big [}(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}){\Big ]}^{-1}\\&+\left.{\frac {4E_{+}^{2}p_{-}^{2}(2(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}-4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})(\Delta _{1}^{(p)}E_{-}+\Delta _{2}^{(p)}p_{-}c)}{((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})^{2}}}\right],\\I_{4}&={\frac {4\pi Ap_{-}c(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)}{(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}}}+{\frac {16\pi E_{+}^{2}p_{-}^{2}A(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}}{((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})^{2}}},\\I_{5}&={\frac {4\pi A}{(-(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+(\Delta _{1}^{(p)})^{2}-4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})((\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})}}\\&\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{-}^{2}}{E_{+}cp_{+}\cos \Theta _{+}}}{\Big [}E_{-}[2(\Delta _{2}^{(p)})^{2}((\Delta _{2}^{(p)})^{2}-(\Delta _{1}^{(p)})^{2})+8p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}((\Delta _{2}^{(p)})^{2}+(\Delta _{1}^{(p)})^{2})]\right.\\&+p_{-}c[2\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}((\Delta _{2}^{(p)})^{2}-(\Delta _{1}^{(p)})^{2})+16\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}]{\Big ]}{\Big [}(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}{\Big ]}^{-1}\\&+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{+}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}(2\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}p_{-}c+2(\Delta _{2}^{(p)})^{2}E_{-}+8p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}E_{-})}{E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+}}}\\&-{\Big [}2E_{+}^{2}p_{-}^{2}\{2((\Delta _{2}^{(p)})^{2}-(\Delta _{1}^{(p)})^{2})(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+8p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}[((\Delta _{1}^{(p)})^{2}+(\Delta _{2}^{(p)})^{2})(E_{-}^{2}+p_{-}^{2}c^{2})\\&+4\Delta _{1}^{(p)}\Delta _{2}^{(p)}E_{-}p_{-}c]\}{\Big ]}{\Big [}(\Delta _{2}^{(p)}E_{-}+\Delta _{1}^{(p)}p_{-}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}{\Big ]}^{-1}\\&-\left.{\frac {8p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}(E_{+}^{2}+E_{-}^{2})(\Delta _{2}^{(p)}p_{-}c+\Delta _{1}^{(p)}E_{-})}{E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+}}}\right],\\I_{6}&=-{\frac {16\pi E_{-}^{2}p_{+}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+}A}{(E_{+}-cp_{+}\cos \Theta _{+})^{2}(-(\Delta _{2}^{(p)})^{2}+(\Delta _{1}^{(p)})^{2}-4p_{+}^{2}p_{-}^{2}\sin ^{2}\Theta _{+})}}\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{fine}^{3}c^{2}}{(2\pi )^{2}\hbar }}{\frac {|\mathbf {p} _{+}||\mathbf {p} _{-}|}{\omega ^{3}}},\\\Delta _{1}^{(p)}&:=-|\mathbf {p} _{+}|^{2}-|\mathbf {p} _{-}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)+2{\frac {\hbar }{c}}\omega |\mathbf {p} _{+}|\cos \Theta _{+},\\\Delta _{2}^{(p)}&:=2{\frac {\hbar }{c}}\omega |\mathbf {p} _{i}|-2|\mathbf {p} _{+}||\mathbf {p} _{-}|\cos \Theta _{+}+2.\end{aligned}}}$

Овој напречен пресек може да се искорити во Монте Карло симулации. Анализата на овој израз покажува дека позитроните се главно оддадени во насока на упадниот фотон.