Тевененова теорема

Тевененова теорема – една од методите за решавање на мрежи на еднонасочна и наизменична струја, многу слична на Нортоновата теорема.

Тевененовата теорема ги илустрира следниве тврдења за електричните кола:

• Секоја линеарна електрична мрежа со напонски и струен извор и само отпорници може да се замени на приклучоците A-B со еквивалентен отпорник R_th кој е редно поврзан.
• Еквивалентниот напон V_th е напонот кој се добива на приклучоците A-B на електричното коло доколку истите не се поврзани на други извори или потрошувачи.
• Еквивалентниот отпор R_th е отпорот кој се добива на приклучоците A-B на електричното коло, така што струјните извори се оставаат неповрзани, а напонските извори се претставуваат со краток спој.

Во теоријата на кола, теоремата овозможува секоја еднопортна мрежа да се сведе на еден напонски извор и една импеданса.

Теоремата важи и за наизменични кола, кои содржат реактивни и резистивни импеданси. Тоа значи дека теоремата се применува на наизменичните кола на ист начин како за еднонасочните, со тоа што отпорите се генерализирани во импеданси.

До теоремата независно стигнале германскиот научник Херман фон Хелмолц во 1853 година, и во 1883 година, Леон Шарл Тевенен, електроинженер заедно со Француската национална телеграфска организација.^{[1][2][3][4][5][6]}

Тевененовата теорема и сличната Нортонова теорема, често се користат за анализа на електричните кола за нивно поедноставување, како и за проучување на почетните состојби и одѕивите на промените. Тевененовата теорема може да се користи за да кое било електрично коло со своите извори и импеданси се претвори во Тевененов генератор. Во некои случаи, користењето на оваа теорема е многу попогодно од користењето на Кирхофовите закони.

Која било црна кутија која содржи само отпорници и напонски и струјни извори може да се замени со Тевененово еквивалентно електрично коло кое се состои од еквивалентен напонски извор редно поврзан со еквивалентен отпор.

Пресметување на Тевененовото еквивалентно електрично коло

Еквивалентното коло се состои од напонски извор со напон V_Th во серија со отпор R_Th.

Тевененовиот еквивалентен напон V_Th е напонот на отворено коло на приклучните точки на оригиналното коло. При пресметувањето на Тевененовиот еквивалентен напон, начелото на напонски делител е често корисно, при што се дефинира дека едната приклучна точка е V_out, а другата е маса.

Тевененовиот еквивалентен отпор R_Th е отпорот мерен меѓу точките A и B "кон" колото. Отпорот се мери по извршена замена на сите напонски и струјни извори со нивните внатрешни отпори. Ова значи дека идеален напонски извор се заменува со кратка врска, а идеален струен извор се заменува со отворено коло. Потоа отпорот меѓу приклучните точки може да се пресмета со користење на формулите за сериски и паралелни кола. Овој метод е валиден само за кола со независни извори. Доколку има зависни извори во колото, тогаш мора да се користи друг метод како што е поврзување на тестен извор меѓу A и B и пресеметување на напонот меѓу точките или струјата низ тестниот извор.

Замената на напонските и струјните извори се однесуваат како нивните вредности да биле нула. Напонски извор со напон нула, ќе создаде потенцијална разлика од нула волти меѓу неговите приклучни точки без разлика на струјата која поминува низ него. Неговата замена, краткиот спој, резултира со истиот ефект. Низ струен извор со струја нула поминува струја со нула ампери, без разлика на неговиот напон. Неговата замена, отворено коло, резултира со истиот ефект.

Пример

Чекор 0: Оригиналното електрично коло

Чекор 1: Пресметување на еквивалентниот напонски генератор

Чекор 2: Пресметување на еквивалентниот отпор

Чекор 3: Еквивалентното електрично коло

Во примерот, се пресметува еквивалентниот напон:

${\displaystyle V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }}$

${\displaystyle ={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} }$

${\displaystyle ={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7,5\,\mathrm {V} }$

(да се забележи дека R₁ не е земен во пресметката затоа што горните равенки се пресметани во состојба на отворено коло меѓу приклучоците A и B, така што низ овој дел на колото не проаѓа никаква струја, што значи дека струја не проаѓа ниту низ отпорникот R₁, па со самото тоа не постои пад на напон на оваа компонента)

Пресметување на еквивалентниот отпор:

${\displaystyle R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .}$

Претворање во Нортоново еквивалентно електрично коло

Нортоновата теорема е поврзана со Тевененовата на следниот начин:

${\displaystyle R_{\mathrm {Th} }=R_{\mathrm {No} }\!}$

${\displaystyle V_{\mathrm {Th} }=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!}$

${\displaystyle I_{\mathrm {No} }=V_{\mathrm {Th} }/R_{\mathrm {Th} }.\!}$

Практични ограничувања

• Многу, ако не и сите електрични кола се линеарни само за множество на одредени вредности, така што Тевененовото еквивалентно електрично коло е исправно само на ова линеарно подрачје, но не и вон него.
• Тевененовото еквивалентно електрично коло има еквивалентна струјно-напонска одлика само при некое оптоварување на колото.
• Дисипираната снага на Тевененовото еквивалентно електрично коло не мора да соодветствува на дисипацијата на стварното електрично коло. Меѓутоа снагата која се дисипира во вид на топлина од надворешно поврзаниот отпорник на приклучоците на колото е иста независно од топологијата на оригиналното електрично коло.

Доказ на теоремата

Доказот се состои од два чекора. Прво се користи теоремата на суперпозиција за да се дојде до решение, а потоа се користи теоремата на единственост, за да се покаже дека решението е единствено. Вториот чекор главно се подразбира. Прво, користејќи ја теоремата на суперпозиција, обопштено за секое електрично коло во облик на „црна кутија“ кое содржи напонски извори и отпорници, се запишуваат напоните како линеарна функција од соодветните струи

${\displaystyle V=V_{\mathrm {Eq} }-Z_{\mathrm {Eq} }I\!}$

каде првиот член ја одразува линеарната сума на придонесот од секој напонски извор, додека вториот член претставува мера на сите придонеси на отпорниците. Горниот израз се добива користејќи го фактот дека напонот на црна кутија за дадена струја ${\displaystyle I}$ е идентичен на линеарната суперпозиција на решенијата на следните проблеми: (1) да се остави црната кутија неповрзана и да се вклучуваат напонските извори еден по еден, (2) да се направи кратка врска на сите напонски извори, но да се напојува колото со некој идеален напонски извор така што струјата што резултира е еднаква точно на ${\displaystyle I}$ (или со идеален струен извор со струја ${\displaystyle I}$). Кога ќе се напише горниот израз, лесно се покажува дека ${\displaystyle V_{\mathrm {Eq} }}$ и ${\displaystyle Z_{\mathrm {Eq} }}$ се единствени напонски извори и отпорници кои се разгледуваат.

Поврзано

• Кирхофови закони
• Омов закон
• Нортонова теорема