Центрипетална сила

Центрипеталната сила (од латински centrum „центар“ и petere„да бара“^[1]) — сила која предизвикува телото да следи закривена патека. Насоката е секогаш ортогонална на движењето на телото и кон неподвижната точка во центарот на закривеноста. Исак Њутн ја опишал како „сила од која телата се присилени, или на било кој начин тежнеат кон една точка во центарот“^[2]. Во Њутновата механика, гравитацијата ја обезбедува центрипеталната сила потребна за астрономските орбити.

На телото кое се движи во кружница делува центрипетална сила која е упатена од точката на должот на полупречникот на кругот кон кружницата во која во тој миг телото се наоѓа кон центрот на кружницата.

Еден најчест пример кој ја вклучува центрипеталната сила е случајот во кој тело се движи со постојана брзина по кружна патека. Центрипеталната сила е насочена ортогонално на движењето и по должината на полупречникот кон центарот на кружната патека.^[3][4] Математичкиот опис е добиен во 1659 од Холандскиот физичар Кристијан Хајгенс.^[5]

Равенки

Големината на центрипеталната сила на тело со маса m движејќи се со површинска брзина v по пат со пречник r е:^[6]

${\displaystyle F=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

каде a_c е центрипеталното забрзување. Насоката на сила кон центарот на кругот во кој објектот се движи, или оскулаторниот круг (кругот кој најдобро одговара на локалниот пат на објектот,ако патот не е кружен).^[7] Брзината на формулата е на квадрат,па двапати по брзината на која и е потребна четирипати по силата.Обратниот однос со полупречникот од искривувањето покажува дека половина од радијално растојание бара двапати од силата.Оваа сила е исто така, понекогаш напишана е во однос на аголна брзина w на објектот околу центарот на кругот, во врска со површната брзина со формулата.

${\displaystyle v=\omega r}$

па затоа

${\displaystyle F=mr\omega ^{2}\,.}$

Изразено со помош на орбиталниот период T за едно вртење на кругот,

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\,}$

равенката станува

${\displaystyle F=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$^[8]

Во акцелератор на честички, брзина може да биде многу висока (блиску до брзината на светлината во вакуум), па во истата маса, остатокот сега се врши поголема инерција (релативистичка маса) со што се бара поголема сила за истото центрипетално забрзување, па Равенката станува:

${\displaystyle F={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$

каде

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

е наречена Лоренцовиот фактор Повеќе интуитивно:

${\displaystyle F=\gamma mv\omega }$

што е стапката на промена на релативистичкиот интензитет (${\displaystyle \gamma mv}$)

Извори на центрипеталната сила

Тело под дејство на кружно движење има центрипетална сила, насочена по оската како што е прикажано, за да се оствари кружно движење по кружна траекторија.

Во случај на објект кој е занишан околу на крајот на јажето во хоризонтална рамнина,центрипеталната сила на објектот е обезбедена од страна на тензијата на јажето.Примерот со јажето е пример на вклучување на сила со "влечење".Центрипеталната сила, исто така може да бидат доставенa како сила на "притисок", како на пример во случај кога една нормална реакција во ѕид снабдува центрипетална сила за ѕидот на смрта на возачот.

Идејата на центрипеталната сила на Њутн одговара на она што денес се нарекува централна сила.Кога сателит е во орбитата околу планета, гравитацијата се смета за центрипетална сила, дури и покрај тоа што во случај на ексцентрични орбити, гравитациската сила е насочена кон фокус, а не кон моментален центарот на кривина.^[9]

Друг пример на центрипеталната сила се јавува во спирала која е следена кога една честичка се движи во магнетно поле во отсуство на други надворешни сили. Во овој случај, но и магнетната сила е центрипеталната сила која дејствува кон оската на спирала.

Разгледување на неколку случаи

Подолу се три примери на растечката комплексност, со изводи од формулите со кои се регулира брзината и забрзувањето.

Кружно движење

Поврзано: Кружно движење

Подеднаквите кружни движења се однесуваат на случај на постојана брзина на ротација. Еве два примери за опис на овој случај.

Математичко изведуање

Во две димензии, вектор на позицијата \textbf{r}, која има магнитуда ${\displaystyle r}$ и е насочен во еден агол ${\displaystyle \theta }$ над x-оската, може да се изрази во Декартовите координати со користење на векторите ${\displaystyle {\hat {x}}}$ and ${\displaystyle {\hat {y}}}$:^[10]

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {x}}+r\sin(\theta ){\hat {y}}.}$

Да претпоставиме подеднакви кружни движења, кои бараат три работи. 1.Објектот се движи само во круг. 2.Полупречникот на кругот r не се менува на време. 3.Објектот се движи со константна аголна брзина \omega околу кругот.Затоа, \theta = \omega t каде t време.

Сега најдете ги брзината v и забрзувањето a на движењето со преземање на деривати на позиција во однос на времето.

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {r}}}={\textbf {v}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {x}}+r\omega \cos(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\ddot {\textbf {r}}}={\textbf {a}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t){\hat {x}}-r\omega ^{2}\sin(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}})}$

Забележете дека терминот во загради е оригиналниот израз r во Декартовиte координати. Како резултат на тоа,

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$

негативнoтo (-) покажува дека забрзувањето е насочено кон центарот на кругот (наспроти полупречникот), па затоа се нарекува "центрипеталната" (т.е. "центар-бараат"). Додека предметите природно го следат вистинскиот пат (поради инерција), оваа центрипетално забрзување опишува кружни патеки на движење предизвикано од центрипетална сила.

Изведување со употреба на вектори

Односот на векторите при кружното движење, при што векторот Ω го прикажува вртењето кое е нормално на рамнината во орбита чија поларност е определена со правилото на десна рака и големина dθ /dt.

Сликата на деснo покажува векторски односи за исти кружни движења. Самата ротација е претставена од страна на аголната брзина вектор Ω, што е нормално на рамнината на орбитата (со користење на правилото на десна страна) и големината дадена со:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

со θ аголна позиција во време t. Во овој дел, dθ / се претпоставува константна, независна од времето. Поминатото растојание dℓ на честичката во време dt по кружен пат е

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

кои со својства на крстот производ на вектор, има големина rdθ и е во насока тангента на кружна патека.

Како резултат на тоа,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

со други зборови

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Диференцирање во однос на времето,

${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$

Лагранжовата равенка гласи:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$

Примена на формулата Лагранж со забелешката дека Ω • r (t) = 0 за секој пат

${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$

Со зборови, забрзувањето е да се покажува директно спротивна на радијална поместување r на сите времиња, и има големина:

${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}\ }$

каде вертикалните барови | ... | означуваат на вектор степени според Рихтер, кој во случај на r (t) е едноставно полупречник r на патот. Овој резултат се согласува со претходниот дел, иако нотација е малку поинаква.

Кога стапката на ротација е направена постојано во анализата на nonuniform кружни движења, анализата се согласува со ова.

Заслугата за пристап на векторот е дека е очигледно независно од каков било координатен систем.

Пример: Закривено вртење

Главна статија: Закривено вртење

Поврзано: Реактивна центрифугална сила

Горе: Топка на закривена кружна патека движејќи се со постојана брзина v; Доле: Сили кои дејствуваат на топката

Поврзано

• Централна сила
• Замислена сила
• Центрифугална сила
• Кружно движење
• Кориолисова сила
• Реактивна центрифугална сила
• Бертранова теорема
• Оротогонални координати
• Статика
• Кинетика
• Кинематика
• Применета механика
• Аналитичка механика
• Динамика (физика)
• Класична механика