ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യ

വാസ്തവികഭാഗവും സാങ്കല്പികഭാഗവും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി വരുന്ന മിശ്രസംഖ്യകളെ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിൽ ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (Gaussian integers) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും മിശ്രസംഖ്യകൾക്കുമേലുള്ള സങ്കലനം, ഗുണനം എന്ന സംക്രിയകളും ചേർന്നാൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാമണ്ഡലമായി (integral domain). ഇതിനെ Z[i] കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.^[1] ദ്വിമാന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ (quadratic integrers) ക്രമവിനിമേയ വലയത്തിന് (commutative ring) ഉദാഹരണമാണ് ഈ പൂർണ്ണസംഖ്യാമണ്ഡലം. അങ്കഗണിതക്രിയകളെ അനുസരിക്കുന്ന രീതിയിൽ ഇവയ്ക്കുമേൽ ഒരു പൂർണ്ണ ക്രമം (total order) നിർവചിക്കുക സാധ്യമല്ല.

മിശ്രസംഖ്യാപ്രതലത്തിലെ ജാലികാബിന്ദുക്കളായി ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചരിത്രം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് റെസിപ്രോസിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ രണ്ടാമത്തെ പ്രബന്ധത്തിൽ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് ആണ് ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയം അവതരിപ്പിച്ചത്.^[2] x² ≡ q (mod p), x² ≡ p (mod q) എന്ന സർവ്വസമതകളുടെ നിർദ്ധാരണസാധ്യതകൾ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പ്രമേയമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് റെസിപ്രോസിറ്റി. 1796-ൽ ഗോസ് ഈ പ്രമേയം തെളിയിച്ചിരുന്നു. ഇതുപോലെ x³ ≡ q (mod p), x³ ≡ p (mod q) എന്ന സർവ്വസമതകളെ ക്യൂബിക് റെസിപ്രോസിറ്റി ഉപയോഗിച്ചും x⁴ ≡ q (mod p), എന്നിവയെ x⁴ ≡ p (mod q) ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് റെസിപ്രോസിറ്റി ഉപയോഗിച്ചും ബന്ധിപ്പിക്കാം. ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് റെസിപ്രോസിറ്റിയും അനുബന്ധപ്രമേയങ്ങളും സാധാരണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ എളുപ്പത്തിൽ "പൂർണ്ണ മിശ്രസംഖ്യകൾക്ക്" (അതായത്, ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക്) പ്രസ്താവിക്കാനും തെളിയിക്കാനും സാധിക്കുമെന്ന് ഗോസ് കണ്ടെത്തി.

ക്യൂബിക് റെസിപ്രോസിറ്റി പ്രസ്താവിക്കാനും തെളിയിക്കാനുമുള്ള സ്വാഭാവികമായ മണ്ഡലം ഐസൻസ്റ്റൈൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെന്നും ഇതിലും ഉയർന്ന റെസിപ്രോസിറ്റി പ്രമേയങ്ങൾ ഈ രീതിയിൽ തന്നെ പഠിക്കാമെന്നും ഗോസ് ഒരു അടിക്കുറിപ്പിൽ രേഖപ്പെടുത്തി. ഗോസിന്റെ ഈ പ്രബന്ധം ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനു പുറമെ അവ ഒരു അനന്യ ഘടകക്രിയാ മണ്ഡലമാണെന്ന് (unique factorisation domain) തെളിയിക്കുകയും norm, unit, primary, associate എന്ന സംജ്ഞകൾ നിർവചിക്കുകയും ചെയ്തു. ബീജീയ സംഖ്യാ ഗണിതത്തിൽ ഇവ ഇന്ന് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.