Nilai mutlak

Dalam matematik, Nilai mutlak atau nilai absolut atau modulus merupakan nilai bagi suatu nombor nyata tanpa tanda tambah atau tolak. Baik ${\displaystyle |a|}$ ataupun ${\displaystyle |-a|}$ sama-sama bernilai ${\displaystyle a}$. Sebagai contoh, nilai mutlak dari 3 adalah 3, dan nilai mutlak dari –3 juga 3.

Grafik fungsi y-x, dengan x nombor nyata.

Terminologi dan penulisan

Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah "module" pada tahun 1806 di Perancis khususnya untuk nilai mutlak nombor kompleks,^[1][2] dan perkataan itu akhirnya di terima dalam bahasa Inggeris pada tahun 1866 menjadi "modulus".^[1]

Istilah "nilai mutlak" telah digunakan sejak tahun 1806 di Perancis^[3] dan 1857 di England.^[4] Penulisan | a | diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.^[5]

Maksud dan harta

Untuk semua nombor nyata a nilai mutlak dinyatakan dengan | a | (a diapit garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:^[6]

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}}$

Dari maksud di atas, nilai mutlak a akan selalu positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif

Maksud lain dari nilai mutlak adalah

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |a|^{2}=a^{2}\,}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

disebabkan nombor daripada punca kuasa dua mewakili nombor positif.

Maksud ini sering digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan mutlak. Contoh:

${\displaystyle |x-2|=x}$

${\displaystyle |x-2|^{2}=x^{2}}$

${\displaystyle (x-2-x^{2})(x-2+x^{2})=0}$

${\displaystyle (x^{2}-x+2)(x^{2}+x-2)=0}$

${\displaystyle x=1\lor x=-2}$

(Catatan: ${\displaystyle x^{2}-x+2}$ tidak mempunyai nombor nyata.)

Nilai Mutlak bagi Nombor Kompleks

Maklumat selanjutnya: Nombor kompleks

Nilai mutlak bagi nombor kompleks ${\displaystyle a+bi}$ dimana ${\displaystyle i}$ ialah unit khayalan adalah;

${\displaystyle |a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Ini serupa dengan formula teorem Pythagoras.