For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Additieve identiteit.

Additieve identiteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In een verzameling die is uitgerust met de operatie optelling, is de additieve identiteit het element dat, wanneer opgeteld bij een willekeurige element uit deze verzameling, ditzelfde element weer als resultaat geeft. Men spreekt ook van neutraal element van de optelling. Een van de bekendste additieve identiteiten is het getal 0 uit de elementaire wiskunde, maar additieve identiteiten komen ook voor in andere wiskundige structuren, zoals groepen en ringen, waarvoor de operatie van optelling is gedefinieerd.

Elementaire voorbeelden

  • De additieve identiteit bekend uit de elementaire wiskunde is nul, aangeduid met 0. Bijvoorbeeld:

Formele definitie

Laat een verzameling zijn die is gesloten onder de operatie van optelling, aangeduid met +. Een additieve identiteit voor is dan elk element waarvoor

voor elke in .

Verdere voorbeelden

  • In een groep is de additieve identiteit het identiteitselement van de groep. Dit neutrale element wordt vaak aangeduid met 0, en is uniek (zie hieronder voor het bewijs).
  • Een ring of een lichaam/veld is een groep onder de operatie van optelling en heeft dus een unieke additieve identiteit 0. Deze is gedefinieerd als verschillend van de multiplicatieve identiteit 1, als de ring (of het lichaam/veld) meer dan één element heeft. Als de additieve identiteit en de multiplicatieve identiteit hetzelfde zijn, dan is de ring dus triviaal (wordt hieronder bewezen).
  • In de ring van -matrices over een ring is de additieve identiteit de -matrix waarvan alle elementen gelijk zijn aan het nulelement 0 in . Bij de -matrices over de gehele getallen bijvoorbeeld is de additieve identiteit:
  • In de quaternionen, is 0 de additieve identiteit.
  • In de ring van functies van naar , de functie mapping elk getal naar 0 is de additieve identiteit.
  • In de additieve groep van vectoren in is de oorsprong of nulvector een additieve identiteit.

Bewijzen

In een groep is de additieve identiteit uniek

Laat een groep zijn en zowel 0 als 0' in additieve identiteiten aanduiden, zodat dus voor elke in geldt:

en

Dan is

De additieve en de multiplicatieve identiteiten zijn verschillend in een niet-triviale ring

Laat een ring zijn en neem aan dat de additieve identiteit 0 en de multiplicatieve identiteit 1 gelijk zijn, dus 0 = 1. Voor een willekeurig element van geldt dan:

wat bewijst dat de triviale nulring is, dat wil zeggen .

De additieve identiteit is een absorberend element

In een structuur met een gedefinieerde vermenigvuldigingsoperatie die distributitief is over de optelling, is de additieve identiteit een multiplicatief absorberend element. Voor elke willekeurige geldt namelijk:

dus:


Referenties

  • (en) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Additieve identiteit
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.