For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Bijectie.

Bijectie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Bijectie tussen de verzamelingen 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 en Y
Bijectie tussen de verzamelingen en Y

In de wiskunde is een bijectie, bijectieve afbeelding of een-op-een-correspondentie een afbeelding of functie, die zowel injectief als surjectief is, dus alle elementen van twee verzamelingen een-op-een aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen dat ieder element uit het domein gekoppeld is aan precies één element uit het codomein en dat omgekeerd ook ieder element van gekoppeld is aan precies één element uit . Een correspondentie is een tweeplaatsige relatie, die zowel links- als rechtsvolledig is.

Voor elke bijectie van een verzameling op een verzameling bestaat er een inverse functie van naar , die zelf ook een bijectie is.

Een bijectie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd. Bijecties zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, voor onder meer de definities van permutatiegroep, isomorfisme, homeomorfisme en diffeomorfisme. De aanduiding 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

Een bijectie tussen twee verzamelingen en , niet noodzakelijk verschillend, is een functie of afbeelding:

die injectief is en surjectief is. Daarbij is

  • injectief als uit volgt dat en
  • surjectief als er voor alle een is met .

Gelijkmachtigheid

Als en eindige verzamelingen zijn is het makkelijk in te zien dat het bestaan van een bijectie betekent dat beide verzamelingen hetzelfde aantal elementen hebben. Algemeen zegt men dat als er een bijectie tussen twee (eindige of oneindige) verzamelingen bestaat, deze verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben. Georg Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek. Twee verzamelingen waartussen een bijectie bestaat, worden gelijkmachtig genoemd.

Zo worden de verzamelingen en gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding met , bijectief is.

Ook zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig, want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van naar :

  • 0 wordt op 0 afgebeeld
  • een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
  • bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:

en

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies een keer bereikt. De verzameling van rationale getallen is wel gelijkmachtig met deze twee, maar de verzameling van reële getallen is niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar wel met voor elke gehele waarde van groter dan 0.

Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder

Als er tussen twee verzamelingen en beide kanten op een injectie is, zeg en , bestaat er volgens de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een bijectie tussen en . De twee verzamelingen zijn in dat geval dus gelijkmachtig.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Voorbeeld 1

, met

Geen enkel element uit wordt door aan 2 elementen uit gekoppeld, dus is injectief en laat geen enkel element uit over, dus is surjectief. Dat betekent samen dat bijectief is.

Voorbeeld 2

, met

Deze functie is ook een bijectie. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen en is:

Tegenvoorbeeld 1

, met

is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt, dus niet surjectief is, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, dus niet injectief is.

Tegenvoorbeeld 2

, met

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van gekoppeld wordt aan een element van , maar sommige elementen van worden aan twee verschillende elementen van gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld .

Tegenvoorbeeld 3

, met

Dit is geen bijectie, want is niet surjectief omdat niet alle elementen uit worden gekoppeld aan een element uit . Het element 0 in bijvoorbeeld is van geen enkel element uit het beeld. De functie is wel injectief, want geen twee elementen uit worden gekoppeld aan hetzelfde element van .

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Bijectie
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.