Dichte verzameling

In de topologie en aanverwante deelgebieden binnen de wiskunde wordt een topologische deelruimte ${\displaystyle A}$ van een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ een dichte verzameling in ${\displaystyle X}$ genoemd als haar afsluiting ${\displaystyle {\overline {A}}}$ de hele ruimte omvat:

${\displaystyle {\overline {A}}=X}$

Dat houdt in dat voor elk punt ${\displaystyle x\in X}$ in elke omgeving van ${\displaystyle x}$ ten minste één punt van ${\displaystyle A}$ ligt.

De deelverzameling ${\displaystyle A}$ is dicht in ${\displaystyle X}$ als, intuïtief gesproken, elk punt in ${\displaystyle X}$ "goed-benaderd" kan worden door punten in ${\displaystyle A}$.

Dit is gelijkwaardig met de uitspraak, dat iedere niet-lege open verzameling van ${\displaystyle X}$ de verzameling ${\displaystyle A}$ snijdt.

Er geldt: ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan dicht in ${\displaystyle X}$ als de enige gesloten deelverzameling van ${\displaystyle X}$ die ${\displaystyle A}$ bevat, ${\displaystyle X}$ zelf is. Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat het inwendige van het complement van ${\displaystyle A}$ leeg is.