Differentieerbare variëteit
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
Een differentieerbare variëteit is een variëteit waarop wiskundige analyse mogelijk is, in het bijzonder differentiëren en integreren. Een variëteit kan worden beschreven met behulp van een verzameling van kaarten, die ook bekendstaat als een atlas. Men kan op de kaarten waarop een differentieerbare variëteit is gedefinieerd, de differentiaal- en integraalrekening toepassen. De reden hiervoor is dat kaarten in euclidische ruimten liggen, waarop de gebruikelijke regels van de differentiaal- en integraalrekening van toepassing zijn. Als de kaarten voldoende compatibel zijn, wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is, dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart.
Een differentieerbare variëteit is dus een topologische variëteit met een globaal gedefinieerde differentieerbare structuur. Door gebruik te maken van homeomorfismen in zijn atlas en de standaard differentieerbare structuur op de euclidische ruimte kan aan iedere topologische variëteit lokaa een differentieerbare structuur worden meegegeven. Om een globale differentieerbare structuur op te leggen aan het lokale door homeomorfismen geïnduceerde coördinatenstelsel, moeten hun functiecomposities op kaartdoorsneden in de atlas differentieerbare functies in de euclidische ruimte zijn. Met andere woorden, waar de domeinen van de kaarten overlappen, zijn de coördinaten die door elke kaart worden gedefinieerd, verplicht differentieerbaar met betrekking tot de coördinaten die door elke kaart in de atlas worden gedefinieerd. De afbeeldingen die de coördinaten, gedefinieerd door verschillende kaarten, aan elkaar verbinden, worden transitieafbeeldingen genoemd.
Differentieerbaarheid betekent niet altijd hetzelfde en heeft verschillende betekenissen: voorbeelden zijn: continue differentieerbaarheid, -maal differentieerbare en holomorfe functies. Bovendien maakt de mogelijkheid om een dergelijke gedifferentieerde structuur op te leggen aan een abstracte ruimte het mogelijk om de definitie van differentieerbaarheid uit te breiden tot ruimten zonder globale coördinatenstelsels. Een differentiële structuur maakt het mogelijk om globaal differentieerbare raakruimten, differentieerbare functies en differentieerbaar tensor- en vectorvelden te definiëren. Differentieerbare variëteiten zijn in de natuurkunde belangrijk. Speciale soorten differentieerbare variëteiten vormen de basis voor natuurkundige theorieën zoals de klassieke mechanica, de algemene relativiteitstheorie en de Yang-Mills-theorie Het is mogelijk om voor differentieerbare variëteiten een calculus te ontwikkelen. Dit leidt tot zulke wiskundige machinerie als de uitwendige calculus. De studie van de calculus op differentieerbare variëteiten staat bekend als differentiaalmeetkunde.