Eenheidsvector

Eenheidsvector

In de <a href="/nl/Meetkunde" title="Meetkunde" class="wl">meetkunde</a>, een deelgebied van de <a href="/nl/Wiskunde" title="Wiskunde" class="wl">wiskunde</a>, is een eenheidsvector een <a href="/nl/Vector_(wiskunde)" title="Vector (wiskunde)" class="wl">vector</a> met de <a href="/nl/Norm_(vector)" title="Norm (vector)" class="wl">norm</a> ('lengte') 1. In de betrokken <a href="/nl/Vectorruimte" title="Vectorruimte" class="wl">vectorruimte</a> moet een lengtebegrip gedefinieerd zijn, wat algemeen het geval is in een <a href="/nl/Genormeerde_vectorruimte" title="Genormeerde vectorruimte" class="mw-redirect wl">genormeerde vectorruimte</a>. Een eenheidsvector is daarmee formeel een vector in een genormeerde vectorruimte, met de norm 1, en wordt ook genormeerde vector genoemd.

Een eenheidsvector wordt als vector vaak aangeduid met de letter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mi>e</mi>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt>, zoals in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>e</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf539ea5571e4123fb44fc57feed0818e433846" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt> en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{y}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <msub>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>e</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi>y</mi>
 </mrow>
 </msub>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{y}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9317848eadb4ce70fd03e5a9f48debd0127ac23c" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.272ex; height:3.009ex;" alt>. 

Van een willekeurige vector <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt>, ongelijk aan de <a href="/nl/Nulvector" title="Nulvector" class="wl">nulvector</a>, kan een eenheidsvector <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>e</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf539ea5571e4123fb44fc57feed0818e433846" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt> worden afgeleid door <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt> te normeren. De genormeerde vector is:
<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}={{\vec {v}} \over \|{\vec {v}}\|}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>e</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mfrac>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mrow>
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 </mrow>
 </mfrac>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}={{\vec {v}} \over \|{\vec {v}}\|}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7575a071cafa7371ca6f535718aa8d2937ad17e2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:8.658ex; height:6.176ex;" alt></dd></dl>

Er geldt immers:
<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|{\vec {e}}\|=\left\|{{\vec {v}} \over \|{\vec {v}}\|}\right\|=1}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>e</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 <mo>=</mo>
 <mrow>
 <mo symmetric="true">‖</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mfrac>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mrow>
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mover>
 <mi>v</mi>
 <mo stretchy="false">→</mo>
 </mover>
 </mrow>
 </mrow>
 <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo>
 </mrow>
 </mfrac>
 </mrow>
 <mo symmetric="true">‖</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>1</mn>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\vec {e}}\|=\left\|{{\vec {v}} \over \|{\vec {v}}\|}\right\|=1}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd364f98a2e7dba22a3a8faf45b78181c9c7bdb" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.569ex; height:6.509ex;" alt></dd></dl>

De <a href="/nl/Standaardbasis" title="Standaardbasis" class="wl">standaardbasis</a> van de vectorruimte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <msup>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="double-struck">R</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi>n</mi>
 </mrow>
 </msup>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt> bestaat uit de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mi>n</mi>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt> eenheidsvectoren met één <a href="/nl/Coördinaat" title="Coördinaat" class="wl">coördinaat</a> 1 en de overige 0. 

De <a href="/nl/Deelverzameling" title="Deelverzameling" class="wl">deelverzameling</a> van een genormeerde vectorruimte, die wordt gevormd door de eenheidsvectoren, heet de <a href="/nl/Eenheidsbol" title="Eenheidsbol" class="wl">eenheidsbol</a>.

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een eenheidsvector een vector met de norm 1. In de betrokken vectorruimte moet een lengtebegrip gedefinieerd zijn, wat algemeen het geval is in een genormeerde vectorruimte. Een eenheidsvector is daarmee formeel een vector in een genormeerde vectorruimte, met de norm 1, en wordt ook genormeerde vector genoemd. Een eenheidsvector wordt als vector vaak aangeduid met de letter 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
, zoals in 
  
    
      
        
          
            
              e
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}}
  
 en 
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{y}}
  
.  Van een willekeurige vector 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
, ongelijk aan de nulvector, kan een eenheidsvector 
  
    
      
        
          
            
              e
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}}
  
 worden afgeleid door 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
 te normeren. De genormeerde vector is: 