Formalisme (wiskunde)
wiskunde / Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de grondslagen--, de filosofie van de wiskunde, en de filosofie van de logica is het formalisme een theorie, die het geven van enige betekenis van wiskundige symbolen, zowel objectief (zoals voorgesteld in het platonisme), als subjectief (zoals voorgesteld in het intuïtionisme) veroordeelt. Uitspraken over wiskunde en logica moeten worden gezien als uitspraken over de gevolgen van bepaalde regels met betrekking tot het manipuleren van reeksen symbolen en het doen van afleidingen binnen een formeel systeem.
Gestimuleerd door David Hilbert was het formalisme vooral in de eerste drie decennia van de 20e eeuw een factor van betekenis. Formalisme benadrukt axiomatische bewijzen met behulp van stellingen, in het bijzonder in de variant van het formalisten, die wordt geassocieerd met David Hilbert. Door de publicatie in 1931 van de onvolledigheidsstellingen, waarin Kurt Gödel aanzienlijke beperkingen van formele systemen bewees, kreeg het formalisme een zware klap te verwerken.
De Euclidische meetkunde kan bijvoorbeeld worden gezien als een "spel", waarbij het spel eruit bestaat om bepaalde reeksen symbolen genaamd axioma's volgens een verzameling van regels genaamd "afleidingsregels" voor het genereren van nieuwe reeksen symbolen. Bij het spelen van dit spel kan men "bewijzen" dat de stelling van Pythagoras valide is, omdat de reeks symbolen, die de stelling van Pythagoras weergeeft, met behulp van alleen de gestelde regels kan worden geconstrueerd.
Volgens het formalisme gaan de waarheden uitgedrukt in logica en wiskunde niet over getallen, verzamelingen of driehoeken of enige andere contensief onderwerp - in feite gaan de gevonden waarheden nergens "over". Ze zijn syntactische vormen, waarvan de vormen en locaties geen betekenis hebben, tenzij ze een interpretatie (of formele semantiek) krijgen.
Formalisten zijn relatief tolerant en staan open voor nieuwe benaderingen van de logica, niet-standaard getalsystemen, nieuwe theorieën over de verzamelingenleer enz. Immers hoe meer spelen we bestuderen, hoe meer we leren. In alle drie de bovenstaande voorbeelden wordt de motivatie echter gehaald uit bestaande wiskundige of filosofische problemen. De "spelletjes" zijn dus meestal niet willekeurig.
Onlangs hebben enkele formalistische wiskundigen voorgesteld[bron?] dat al onze formele wiskundige kennis systematisch moet worden vastgelegd in door computer leesbare formaten, om op die wijze automatische controle van wiskundige bewijzen en het gebruik van het interactieve bewijsvoering in de ontwikkeling van wiskundige theorieën en computersoftware mogelijk te maken. Vanwege hun nauwe band met de informatica wordt dit idee ook bepleit door wiskundige intuïtionisten en constructivisten in de "berekenbaarheids" traditie (zie hieronder).