Loading AI tools
verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiële functie Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, is een vergelijking uit de complexe functietheorie, die een verband legt tussen de goniometrische functies en de exponentiële functie. De formule zegt dat voor ieder reële getal geldt dat:
Daarin is het grondtal van de natuurlijke logaritme, de imaginaire eenheid, en zijn en de goniometrische functies sinus en cosinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van .
Voor ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:
Of in een andere vorm:
Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid :
Er zijn verschillende manieren om de formule van Euler te bewijzen.
Bepaal de afgeleide van de functie:
Met behulp van de productregel volgt:
De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie constant is:
Dus:
Omdat voor geldt, dat
De gelijkheid kan men ook bewijzen door aan te tonen dat de taylorreeksen van beide uitdrukkingen hetzelfde zijn.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.