For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Inwendig automorfisme.

Inwendig automorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de abstracte algebra is een inwendig automorfisme van een groep G een automorfisme van de vorm:

met a een element van G. Men kan nagaan dat zo'n afbeelding de groepsstructuur bewaart en dus inderdaad een isomorfisme is. Een automorfisme dat niet te schrijven is als een inwendig automorfisme, noemt men een uitwendig automorfisme.

Achtergrond

De bewerking noemt men ook wel conjugatie. Een inwendig automorfisme is dus een afbeelding waarbij elk element wordt afgebeeld op zijn geconjugeerde onder a, met a een willekeurig maar vast element van de groep. Het is eenvoudig in te zien dat dit een automorfisme is, want de groepsbewerking blijft bewaard onder deze afbeelding:

.

Verband met commutativiteit

Er kunnen elementen zijn die onveranderd blijven onder een inwendig automorfisme. Stel dat x zo een element is:

dat impliceert dan dat

In deze notatie is het duidelijk dat elementen die commuteren met a onveranderd blijven onder het inwendige automorfisme bepaald door a. Ruw gezegd is dus het aantal elementen dat verandert onder het automorfisme bepaald door a een maat voor het niet-commutatief zijn van de groep.

Automorfismegroep en uitwendige automorfismen

De verzameling van inwendige automorfismen van een groep vormt zelf ook een groep. Inderdaad, het is gemakkelijk om in te zien dat de samenstelling van de inwendige automorfismen bepaald door a en b precies het inwendige automorfisme is bepaald door ab. Door achtereenvolgens de conjugatie onder b en a te nemen, krijgt men:

a (bxb−1) a −1= ab x b−1a−1=(ab) x (ab)−1

wat inderdaad de conjugatie onder ab is. Dit toont dus de uitspraak aan dat de samenstelling van de inwendige automorfismen bepaald door a en b precies het inwendige automorfisme is bepaald door ab. Op gelijkaardige wijze kan men aantonen dat de andere groepseigenschappen voldaan zijn, en zo verifiëren dat inderdaad de verzameling van inwendige automorfismen van een groep vormt. Men noteert deze groep met Inn(G). Dit is bovendien een normale deelgroep van de volledige automorfismegroep Aut(G) van G. Bijgevolg kan men de quotiëntgroep nemen:

Aut(G)/Inn(G).

Deze noemt men de groep van uitwendige automorfismen Out(G). Door het quotiënt te nemen van inwendige automorfismen, vallen automorfismen die niet inwendig zijn, maar op een inwendig automorfisme na gelijk zijn, in dezelfde equivalentieklasse. Meer intuïtief, maar dus niet geheel correct zegt men soms: "groepsautomorfismen die niet inwendig zijn, zijn uitwendig".

Inwendige automorfismen van andere structuren

Al het bovenstaande betrof inwendige automorfismen van groepen. Het concept kan echter ook gedefinieerd worden voor tal van andere structuren, bijvoorbeeld voor een ring en een lie-algebra.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Inwendig automorfisme
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.